(通用版)中考数学总复习4.4《等腰三角形与直角三角形》精练卷（2份，教师版+原卷版）

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1.)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )
A.AE＝EC B.AE＝BE C.∠EBC＝∠BAC D.∠EBC＝∠ABE
2.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( D )
A.48° B.40° C.30° D.24°
3.如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( B )
A.30° B.15° C.45° D.25°
4.已知实数x，y满足|x－4|＋eq \r(y－8)＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )
A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( B )
A.2a B.2eq \r(2)a C.3a D.eq \f(4\r(3),3)a
6.平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上.如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( B )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),2) C.eq \f(3,2) D.不能确定
9.如图所示，在△ABC中，∠B＝__25°__.

10.如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若α＝40°，则β等于__20°__.
11.如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__.
,
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连结AD，若AD＝4，则DC＝__5__.
13.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝__2eq \r(3)__.
14.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC；
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数.
解：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD.
在△BOE和△COD中，
∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；
(2)∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°－2×50°＝80°.
∵∠DOE＋∠A＝180°，
∴∠BOC＝∠DOE＝180°－80°＝100°.
15.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2.
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDC＝60°，
∴EF＝tan60°·DE＝2eq \r(3).
16.如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.
(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
(2)存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，
由(1)知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝2eq \r(3) cm，
∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2eq \r(3)＋4；
(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意；
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，
∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，
由(1)可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°.
∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°.
∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，
∴t＝2÷1＝2 s；
③当6＜t＜10 s时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由(1)知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14 cm，
∴t＝14÷1＝14 s，
综上所述，当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形.
17.如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为( C )
A.eq \f(70,2n) B.eq \f(70,2n＋1) C.eq \f(70,2n－1) D.eq \f(70,2n＋2)