专题4.6大题易丢分必做解答30题（提升版）-2021-2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年七年级下学期期中考试高分直通车（北师大版）
专题4.6大题易丢分必做解答30题（提升版）
一．解答题（共30小题）
1．（2020春•海珠区校级期中）计算：
（1）（a+2）（2a﹣1）；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣（x+2）2．
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【解析】（1）（a+2）（2a﹣1）
＝2a2﹣a+4a﹣2
＝2a2+3a﹣2；

（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣（x+2）2
＝4x2﹣1﹣（x2+4x+4）
＝4x2﹣1﹣x2﹣4x﹣4
＝3x2﹣4x﹣5．
2．（2020春•沙坪坝区校级期中）化简求值：[（x﹣2y）2﹣（2x+y）（x﹣4y）﹣（﹣x+3y）（x+3y）]÷(-23y)，其中|x+2y|+x2﹣4x+4＝0．
【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，然后先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解析】∵|x+2y|+x2﹣4x+4＝0，
∴|x+2y|+（x﹣2）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
∵[（x﹣2y）2﹣（2x+y）（x﹣4y）﹣（﹣x+3y）（x+3y）]÷（-23y）
＝[x2﹣4xy+4y2﹣（2x2﹣8xy+xy﹣4y2）﹣9y2+x2]÷（-23y）
＝（3xy﹣y2）÷（-23y）
=-92x+32y，
∴将x＝2，y＝﹣1，代入上式可得：
原式=-92×2+32×（﹣1）＝﹣9-32=-212．
3．（2020秋•汝阳县期中）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）：
（1）0.259×220×259×643；
（2）20012﹣4002+1．
【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方得出即可；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【解析】（1）原式＝0.259×220×518×49＝（0.25×4）9×（2×5）18×22＝1×1018×4＝4×1018；
（2）原式＝20012﹣2×2001×1+1＝（2001﹣1）2＝20002＝4000000＝4×106．
4．（2020秋•德城区校级期中）已知4m＝5，8n＝3，3m＝4，计算下列代数式：
①求：22m+3n的值；
②求：24m﹣6n的值；
③求：122m的值．
【分析】①根据幂的乘方运算法则可得4m＝22m＝5，8n＝23m＝3，再根据同底数幂的乘法法则计算即可；
②由22m＝5，23m＝3，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
③根据积的乘方运算法则可得122m＝（3×4）2n＝32m×42m，再根据幂的乘方运算法则计算即可．
【解析】4m＝22m＝5，8n＝23n＝3，3m＝4，
①22m+3n＝22m•23n＝5×3＝15；
②24m﹣6n＝24m÷26n＝（22m）2÷（23n）2=259；
③122m＝（3×4）2m＝32m×42m＝（3m）2×（4m）2＝42×52＝16×25＝400．
5．（2020秋•资中县期中）（1）已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积是21x5y7﹣28x7y4+14x6y4，求这个多项式．
（2）先化简，再求值：（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b），其中a=12020，b＝2020．
【分析】（1）根据多项式除单项式的运算法则计算．
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
【解析】（1）（21x5y7﹣28x7y4+14x6y4）÷（﹣7x5y4）
＝﹣3y3+4x2﹣2x，
答：这个多项式为﹣3y3+4x2﹣2x；
（2）原式＝a2+4ab+4b2﹣a2+4ab+ab﹣4b2
＝9ab，
当a=12020，b＝2020时，原式＝9×12020×2020＝9．
6．（2020秋•资中县期中）已知a+b＝3，ab＝1，求：
（1）a2+b2的值；
（2）a﹣b的值．
【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入即可求解；
（2）根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7，代入（1）的结果即可求得（a﹣b）2的值，然后开方即可求解．
【解析】（1）∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×1＝7；
（2）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7﹣2＝5，
∴a﹣b＝±5．
7．（2020秋•兴宁区校级期中）如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）

【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案；
（2）先求出该队需要多少小时绿化完，再乘以每小时的费用即可得出答案．
【解析】（1）根据题意得：
（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2
＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）
＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（14ab﹣8b2）平方米，
答：绿化的面积是（14ab﹣8b2）平方米；

（2）根据题意得：
（14ab﹣8b2）÷8b×200
＝（74a﹣b）×200
＝（350a﹣200b）元，
答：该物业应该支付绿化队需要（350a﹣200b）元费用．
8．（2020秋•袁州区校级期中）我们定义：三角形＝ab•ac，五角星＝z•（xm•yn）；
（1）求的值；
（2）若＝4，求的值．
【分析】（1）根据三角形＝ab•ac，可以求得所求式子的值；
（2）根据题意和＝4，可以求得的值．
【解析】（1）由题意可得，
＝31×32＝33＝27；
（2）∵＝4，
∴3x×32y＝4，
∴3x+2y＝4，
∴
＝2×（9x×81y）
＝2×[（3x）2×（32y）2]
＝2×[（3x×32y）2]
＝2×（3x+2y）2
＝2×42
＝2×16
＝32．
9．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1-122=1-14=34=12×32；
1-132=1-19=89=23×43；
1-142=1-116=1516=34×54；
1-152=1-125=2425=45×65⋯
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-162=　56　×　76　；1-1102=　910　×　1110　．
（2）用你发现的规律计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【分析】（1）利用平方差公式得到1-162=（1-16）（1+16），1-1102=（1-110）（1+110），这样把原式转化为两个分数的乘积的形式；
（2）利用（1）的方法得到原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020，然后约分即可．
【解析】（1）1-162=（1-16）（1+16）=56×76；
1-1102=（1-110）（1+110）=910×1110；
故答案为56，76；910，1110；
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
10．（2020秋•新蔡县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．
（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积；
（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．

【分析】（1）根据各个图形的边长、面积之间的关系，画出拼图即可；
（2）从整体、部分两个方面分别表示其面积；
（3）由（2）可得等式，
（4）应用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，再整体代入计算即可．
【解析】（1）如图所示；
（2）方法1：大正方形的边长为（m+n），因此面积为：（m+n）•（m+n）＝（m+n）2；
方法2：大正方形的面积等于各个部分的面积和，
即边长为（m﹣n）的正方形的面积与4个长为m，宽为n的长方形的面积和，
即（m﹣n）2+4mn；
（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×4＝36﹣16＝20．

11．（2020秋•中山区期中）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．

（1）图中的甲长方形的面积S1，乙长方形的面积S2，试比较S1、S2的大小，并说明理由；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则，先求出两个长方形的面积，再计算两个长方形面积的差即可；
（2）根据长方形的周长，先算出正方形的周长，再求出两个多边形的面积差．
【解析】（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1＞S2．
（2）图中甲的长方形周长为2（m+7+m+1）＝4m+16，
∴该正方形边长为m+4，
∴S﹣S1＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）＝9，
∴这个常数为9．
12．（2020秋•射洪市期中）甲、乙二人共同计算2（x+a）（x+b），由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“﹣”，得到的结果为2x2+4x﹣30；由于乙漏抄了2，得到的结果为x2+8x+15．
（1）求a，b的值；
（2）求出正确的结果．
【分析】（1）根据已知得出算式2（x﹣a）（x+b）和（x+a）（x+b），根据整式的运算法则进行化简，再根据已知得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据整式的运算法则求出即可．
【解析】（1）甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“﹣”，得到的结果为2x2+4x﹣30，
∴2（x﹣a）（x+b）
＝2x2+2bx﹣2ax﹣2ab
＝2x2+（2b﹣2a）x﹣2ab
＝2x2+4x﹣30，
∴2b﹣2a＝4，
∵乙漏抄了2，得到的结果为x2+8x+15，
∴（x+a）（x+b）
＝x2+bx+ax+ab
＝x2+（a+b）x+ab
＝x2+8x+15，
∴a+b＝8，
解方程组2b-2a=4a+b=8得：a=3b=5，
即a＝3，b＝5；

（2）2（x+3）（x+5）
＝2x2+10x+6x+30
＝2x2+16x+30．
13．（2020秋•任城区校级期中）将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，求∠ADF的值．

【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠ADF的度数．
【解析】如图所示，CB与FD交点为G，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠BGD＝45°，
又∵∠ADG是△BDG的外角，∠B＝30°，
∴∠ADF＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°．

14．（2020秋•金牛区校级期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠BOC=15∠AOC，∠BOM＝80°，ON平分∠DOM，求∠BOC和∠MON．

【分析】由∠BOC=15∠AOC，∠BOC+∠AOC＝180°求得∠BOC的度数；
由∠BOM的度数，可求出∠COM和∠DOM的度数，根据ON平分∠DOM求出∠MON的度数．
【解析】∵∠BOC=15∠AOC，
∴∠AOC＝5∠BOC
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
∵∠BOM＝80°，
∴∠COM＝∠BOM﹣∠BOC＝50°，
∴∠DOM＝180°﹣∠COM＝130°，
∵ON平分∠DOM，
∴∠MON=12∠DOM＝65°．
答：∠BOC为30°；∠MON为65°．

15．（2020秋•滦州市期中）已知：OC是∠AOB内部一条射线，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图①所示，若A，O，B三点共线，则∠MON的度数是　90°　，此时图中共有　4　对互余的角．
（2）如图②所示，若∠AOB＝110，求∠MON的度数．
（3）直接写出∠MON与∠AOB之间的数量关系．

【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义可得∠MON的度数，根据和为90°的两个角互余可得此时图中互余的角的对数；
（2）根据角平分线的定义计算即可；
（3）根据角平分线的定义解答即可．
【解析】（1）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠AOM＝∠COM，∠CON＝∠BON，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°；
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴图中互余的角有：∠AOM与∠BON，∠AOM与∠CON，∠COM与∠CON，∠COM与∠BON共4对，
故答案为：90°；4；

（2）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×∠AOB=12×110°=55°；

（3）∠MON=12×∠AOB．
16．（2020秋•邢台期中）已知，如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．

（1）如图1，若MOC＝28°，求∠BON的度数；
（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，则∠MOC的度数为　50°　；
（3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出∠NOC、∠AOC，再根据互为补角求出∠BON即可；
（2）根据补角的定义以及角平分线的定义求解即可；
（3）根据角平分线和互为余角的意义可得∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，再根据互为补角的意义得到∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC．
【解析】（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°；
（2）∵∠BON＝100°，
∴∠AON＝80°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON＝10°，∠AOC＝40°，
∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝50°．
故答案为：50°；
（3）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∠BON＝2∠MOC．
17．（2020春•高州市期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系　∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5　；
（3）如图丙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系　∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7　．

【分析】（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝∠1+∠3；
（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．
（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7．
【解析】（1）∠BEC＝∠1+∠3．
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝∠1+∠3；

（2）∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，
∴∠2+∠4＝∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN＝∠1+∠EGH+∠MGH+∠5＝∠1+∠3+∠5；

（3）∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠KMN＝∠LKM，∠LKP＝∠KPQ，∠QPC＝∠7，
∴∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7．

18．（2020春•绍兴期中）如图，AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合），∠ADC＝70°．设∠BED＝n°．

（1）若点B在点A的左侧，求∠ABC的度数；（用含n的代数式表示）
（2）将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠ABC的度数是否改变．若改变，请求出∠ABC的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠BEF，∠CDE=12∠ADC=35°，
∵∠BED＝n°，
∴∠BEF＝（n﹣35）°，
∴∠ABC＝2∠BEF＝2（n﹣35）°＝（2n﹣70）°；
（2）∠ABC的度数改变，
画出的图形如图2，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠ABC＝2∠ABE，∠CDE=12∠ADC=35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∵∠BED＝n°，
∴∠BEF＝（n﹣35）°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣（n﹣35）°＝180°﹣n°+35°＝（215﹣n）°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2（215﹣n）°＝（430﹣2n）°．
19．（2020春•碑林区校级期中）如图，AB∥CD，点E在AC上，∠1＝∠B，BE⊥DE，试说明∠2＝∠D．

【分析】过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠B＝∠3，而∠1＝∠B，那么∠1＝∠3．根据垂直的定义得出∠3+∠4＝90°，利用平角的定义得出∠1+∠2＝90°，由等角的余角相等得出∠2＝∠4，再证明EF∥CD，根据平行线的性质可得∠4＝∠D．等量代换即可得出∠2＝∠D．
【解答】证明：如图，过E作EF∥AB，
∴∠B＝∠3，
∵∠1＝∠B，
∴∠1＝∠3．
∵BE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠3+∠4）＝90°，
∴∠2＝∠4，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠4＝∠D．
∴∠2＝∠D．

20．（2020春•福田区校级期中）AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC＝30°，求∠BED的度数；
（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EDC=12∠ADC，然后代入数据计算即可得解；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（3）∠BED的度数改变．分三种情况讨论，分别过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，然后根据平行线的性质即可得到∠BED的度数．
【解析】（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠EDC=12∠ADC＝35°；
（2）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC＝15°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝15°+35°＝50°；
（3）分三种情况：
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDG=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE=12n°，∠CDG＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°-12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°-12n°+35°＝215°-12n°．
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABG=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABG=12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
综上所述，∠BED的度数为12n°﹣35°或215°-12n°．
21．（2020春•和平区期中）已知，△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A，C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DE∥BC，交直线AB于点D，连接BE，过点F作FG∥BE，交直线AC于点G．
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB＝∠GFC；
（2）在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由；
（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系．

【分析】（1）由DE∥BC，FG∥BE，其性质得∠DEB＝∠EBC，∠EBC＝∠GFC，再根据等量代换证明∠DEB＝∠GFC；
（2）由FG∥BE，其性质得∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，再根据等式的性质得∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，最后由平行线的性质，等量代换，角的和差证明∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，其值是一个定值；
（3）当点E在线段AC的延长线上时，同理可得∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，（2）中结论仍然成立；
（4）当点E在线段CA的延长线上时，同理可得∠DEC+∠EGF+∠BFG＝180°，（2）中结论不成立．
【解析】（1）如图①所示：

∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
又∵FG∥BE，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴∠DEB＝∠GFC；
（2）∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°．
如图①所示，理由如下：
又∵FG∥BE，
∴∠EBC+∠BFG＝180°，∠BEG+∠EGF＝180°，
∴∠EBC+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBG，
∴∠DEB+∠BFG+∠BEG+∠EGF＝360°，
又∵∠DEC＝∠DEB+∠BEG，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG＝360°，
即三个角的和是一个定值；
（3）当点E在线段AC的延长线上时（2）结论仍然成立．
如图②所示，理由如下：

∵FG∥BE，
∴∠EGF+∠GEB＝180°，
∠BFG+∠FBE＝180°，
又∵BC∥DE，
∴∠BED＝∠FBC，
∴∠DEC+∠EGF+∠BFG
＝∠DEB+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝∠FBE+∠BEC+∠EGF+∠BFG
＝360°；
（4）点E在线段CA的延长线上时不成立．
如图③所示，理由如下：

∠EGF＝180°﹣∠CGF，
∠BFG＝180°﹣∠CFG，
∴∠EGF+∠BFG＝360°﹣（∠CGF+∠CFG），
又∵∠C＝180°﹣（∠CGF+∠CFG）
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠C，
又∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠EGF+∠BFG＝180°+∠DEC，
∴∠EGF+∠BFG﹣∠DEC＝180°，
即点E在线段CA的延长线上时不成立．
22．（2020春•滨湖区期中）如图，∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（点A、B、C不与点O重合），且AB∥ON，连接AC交射线OE于点D．
（1）求∠ABO的度数；
（2）当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数．

【分析】（1）利用角平分线的性质求出∠ABO的度数即可；
（2）分两种情况：当∠BAD＝∠ABD时；当∠BAD＝∠BDA时，进行讨论即可求解．
【解析】（1）∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°；
（2）当∠BAD＝∠ABD时，
∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝120°；
当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°．
23．（2020春•东西湖区期中）已知：两直线l1，l2满足l1∥l2，点C，点D在直线l1上，点A，点B在直线l2上，点P是平面内一动点，连接CP，BP，

（1）如图1，若点P在l1、l2外部，则∠DCP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明的这个结论；
（2）如图2，若点P在l1、l2外部，连AC，则∠CAB、∠ACP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明的这个结论；（不能用三角形内角和为180°）
（3）若点P在l1、l2内部，且在AC的右侧，则∠ACP、∠ABP、∠CAB、∠CPB之间满足什么数量关系？（不需证明）
【分析】（1）过P作PM∥AB，根据平行线的性质可得∠ABP＝∠2，∠3＝∠CPM，再利用等量代换可得答案；
（2）过A作AE∥PB，过C作CF∥BP，根据平行线的性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠P，∠ABP＝∠1+∠4，再利用等量代换可得答案；
（3）分别画出图形，再利用平行线的性质进行推理即可．
【解析】（1）如图1，数量关系：∠DCP＝∠CPB+∠ABP，
理由：过P作PM∥AB，
∴∠ABP＝∠2，∠3＝∠CPM，
∵∠3＝∠2+∠CPB，
∴∠3＝∠CPB+∠ABP，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠DCP＝∠CPB+∠ABP；

（2）数量关系：∠CAB+∠ACP＝∠CPB+∠ABP，
理由：过A作AE∥PB，过C作CF∥BP，
∴AE∥CF∥BP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠P，∠ABP＝∠1+∠4，
∴∠CAB+∠ACP＝∠4+∠2+∠3，
∴∠CPB+∠ABP＝∠3+∠1+∠4＝∠3+∠2+∠4，
∴∠CAB+∠ACP＝∠CPB+∠ABP；

（3）如图3，数量关系：∠CPB＝∠CAB+∠ACP+∠ABP；
理由：过P作PM∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PM∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，∠DCP＝∠CPM，∠MPB＝∠PBA，
∴∠CPB＝∠DCA+∠ACP＝∠CAB+∠ACP，
∵∠CPB＝∠CPM+∠MPB，
∴∠CPB＝∠CAB+∠ACP+∠ABP；
如图4，数量关系：∠CAB+∠ACP+∠CPB+∠ABP＝360°，
理由：过P作PM∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PM∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，∠DCP+∠CPM＝180°，∠ABP+∠MPB＝180°，
∴∠CAB+∠ACP+∠CPB+∠ABP＝∠DCA+∠ACP+∠CPM+∠MPB+∠ABP＝360°．


24．（2020秋•阜平县期中）电话费b与通话时间a的关系如下表：
通话时间a/分
电话费b/元
1
0.2+0.8
2
0.4+0.8
3
0.6+0.8
4
0.8+0.8
（1）试用含a的式子表示b；
（2）计算当a＝100时，b的值．
【分析】（1）依据表格中的数据变化规律，即可用含a的式子表示b；
（2）依据自变量的值，即可得到因变量的值．
【解析】（1）由题可得，b＝0.2a+0.8；
（2）当a＝100时，b＝0.2×100+0.8＝20.8（元）．
25．（2020秋•莲湖区期中）2020年，周至县小李家的猕猴桃喜获丰收．在销售过程中，猕猴桃的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销售量x（千克）
1
2
3
4
5
6
7
8
销售额y（元）
6
12
18
24
30
36
42
48
（1）在这个变化过程中，自变量是　猕猴桃的销量　，因变量是　猕猴桃的销售额　；
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为　y＝6x　；
（3）当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是多少元？
【分析】（1）依据自变量与因变量的概念进行判断即可；
（2）依据表格中猕猴桃的销售额y（元）与销量x（千克）满足的关系，即可得到关系式；
（3）依据自变量的值，即可得到因变量的值．
【解析】（1）在这个变化过程中，自变量是猕猴桃的销量，因变量是猕猴桃的销售额，
故答案为：猕猴桃的销量，猕猴桃的销售额；
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y＝6x，
故答案为：y＝6x；
（3）将x＝100代入y＝6x，可得y＝6×100＝600，
答：当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是600元．
26．（2020春•福田区校级期中）如图，长方形ABCD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．
（1）当x＝5时，在图1中画出草图，并求出对应y的值；
（2）利用备用图画出草图，写出y与x之间的关系式．

【分析】（1）画出当x＝5时，相应图形，根据图形中各个图形的面积之间的关系求解即可；
（2）分三种情况进行解答，即①0＜x≤4时，即点P在AB上，②4＜x≤12时，即点P在BC上，③12＜x≤14时，即点P在AB上，分别画出相应的图形，根据面积之间的关系，得出y与x之间的关系．
【解析】（1）当x＝5时，如图1，则BP＝1，

∴S△APE＝S梯形ABCE﹣S△ABP﹣S△PCE，
=12（2+4）×8-12×4×1-12（8﹣1）×2
＝24﹣2﹣7
＝15；
答：当x＝5时，相应y的值为15
（2）分三种情况进行解答，
①点P在AB上，即0＜x≤4时，如图2，

此时AP＝x，
∴y＝S△APE=12x×8＝4x，
②点P在BC上，即4＜x≤12时，如图3，

此时，BP＝x﹣4，PC＝12﹣x，
∴y＝S△APE＝S梯形ABCE﹣S△ABP﹣S△PCE，
=12（2+4）×8-12×4×（x﹣4）-12（12﹣x）×2
＝﹣x+20；
③点P在AB上，即12＜x≤14时，如图4，

此时PE＝14﹣x，
∴y＝S△APE=12（14﹣x）×8＝﹣4x+56，
综上所述，y与x之间的关系式为，
y=4x(0＜x≤4)-x+20(4＜x≤12)-4x+56(12＜x≤14)．
27．（2020秋•金水区期中）如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y．

（1）求当t＝2时，y的值是　96　；当t＝6时，y的值是　160　．
（2）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式；
【分析】（1）当t＝2时，判断出点P在AB上，利用三角形的面积公式得出结论；当t＝6时，判断出点P在BC上，由长方形面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，当P在AB上时，y=12AP×BC，当P在BC上时，由长方形减去3个直角三角形的面积，即可得出结论，当P在EC上时，y=12PE×BC．
【解析】（1）长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，AD∥BC，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，
∴当t＝2时，则AP＝4×2＝8=12AB，
即P为AB的中点，
∵E为CD边的中点，
∴四边形APED是矩形（如图1所示），
∴CE＝DE＝8，∠APE＝∠B＝90°，PE⊥AB，PE＝BC＝24，
∴△APE的面积为y=12×24×8=96；
当t＝6时（如图2所示），
BP＝6×4﹣AB＝24﹣16＝8，
∴PC＝BC﹣BP＝16，
∴△APE的面积为y=24×16-12×16×8-12×16×8-12×24×8=160．
故答案为：96；160；

（2）①当P在AB上时（如图1），
即0≤t≤4时，
此时，AP＝4t，
∴△APE的面积为y=124t×24＝48t，
②当点P在BC上时（如图2），
即4＜t≤10，
此时BP＝4t﹣16，
则PC＝24﹣（4t﹣16）＝40﹣4t，
y=24×16-12×16×(4t-16)-12×(40-4t)×8-12×24×8=-16t+256．
所以y与t之间的关系式为y＝﹣16t+256．
③当P在CE上时（如图3）
即10＜t≤12，
PE＝48﹣4t，
∴△APE的面积为y=12(48﹣4t）×24＝﹣48t+576．



28．（2020春•高密市期中）如图①所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6cm，E是一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC＝8cm
（1）由图②，E点运动的时间为　2　s，速度为　3　cm/s
（2）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
（3）当E点停止后，求△ABE的面积．

【分析】（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解析】（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为2s，速度为3cm/s．
故答案为：2；3；

（2）根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×6=9x，
即y＝9x（0＜x≤2）；

（3）当x＝2时，y＝9×2＝18．
故△ABE的面积为18cm2．
29．（2019春•盐田区期中）水池有若干个进水口与出水口，每个口进出水的速度如图1、图2所示，只开1个进水口持续15小时可将水池注满．
（1）某段时间内蓄水量V（m3）与时间t（h）的关系如图3所示，0～3时只开2个进水口，3～b时只开1个进水口与1个出水口，9～c时只开1个出水口．求证：a+b＝c；
（2）若同时开2个出水口与1个进水口，多久可将满池的水排完？

【分析】（1）根据题意和图象，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a、b、c的关系，即可证明结论成立；
（2）根据题意，可以列出相应的算式，求出同时开2个出水口与1个进水口，多久可将满池的水排完．
【解答】（1）证明：由图1可知，进水口的速度为1÷1＝1m3/h，则a＝3×2＝6，
由图2可知，出水口的速度为2÷1＝2m3/h，则b＝3+（6﹣4）÷（2﹣1）＝5，c＝9+4÷2＝11，
∵a+b＝6+5＝11＝c，
∴a+b＝c；
（2）（1×15）÷（2×2﹣1）
＝15÷3
＝5（小时），
答：若同时开2个出水口与1个进水口，5小时可将满池的水排完．
30．（2019春•太原期中）周末，小明乘坐家门口的公交车到和平公园游玩，他先乘坐公交车0.8小时后达到书城，逗留一段时间后继续坐公交车到和平公园，小明出发一段时间后，小明的妈妈不放心，于是驾车沿相同的路线前往和平公园，如图是他们离家的路程y（km）与离家时间x（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到和平公园的路程为　30　km，他在书城逗留的时间为　1.7　h；
（2）图中A点表示的意义是　小明离开书城，继续坐公交到公园　；
（3）求小明的妈妈驾车的平均速度（平均速度=路程时间）．

【分析】（1）、（2）看图象即可求解；
（3）用平均速度=路程时间，即可求解．
【解析】（1）从图象可以看出，小明距离公园的路程为30千米，小明逗留的时间为：2.5﹣0.8＝1.7，
故答案为30，1.7；
（2）表示小明离开书城，继续坐公交到公园，
故答案为：小明离开书城，继续坐公交到公园；
（3）30÷（3.5﹣2.5）＝30（km/h），
即：小明的妈妈驾车的平均速度为30km/h．