专题08 用表格、关系式表示的变量间关系（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

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专题08 用表格、关系式表示的变量间关系知识网络  重难突破知识点一 用表格表示的变量间关系1、常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．2、自变量与因变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．注意：区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3、从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化． 典例1（2021春•龙岗区校级期中）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是　　A．是自变量，0.6元千瓦时是因变量 B．0.6元千瓦时是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常量【解答】解：在这个问题中，是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常数．故选：． 典例2（2020春•新都区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系：0123451010.51111.51212.5下列说法不正确的是　　A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【解答】解：、随的增加而增加，是自变量，是因变量，故选项正确；、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误；、物体质量每增加，弹簧长度增加，故选项正确；、由知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确；故选：． 知识点二 用关系式表示变量间关系   1、用关系式表示两个变量间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． 2、利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 典例1（2021春•青羊区校级期中）用元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买本书共需带费用元，则可列出关系式　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意可得：，故选：． 典例2（2019春•台安县期中）已知变量，满足下面的关系12311.53 则，之间用关系式表示为　　A． B． C． D．【解答】解：设此函数的解析式为，把，，代入得，故，之间用关系式表示为．故选：． 典例3（2020春•龙泉驿区期末）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设为米，则菜园的面积（平方米）与（米的关系式为　　．（不要求写出自变量的取值范围）【解答】解：的边长为米，而菜园是矩形菜园，，菜园的面积，．故填空答案：． 巩固训练一、单选题（共5小题）1．（2020春•邛崃市期中）在圆的面积公式中，常量与变量分别是　　A．2是常量，、、是变量 B．是常量，、是变量 C．2是常量，是变量 D．2是常量，、是变量【解答】解：在圆的面积公式中，与是改变的，是不变的；变量是、，常量是．故选：．2．（2021春•龙泉驿区期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是　　温度0102030传播速度318324330336342348A．自变量是传播速度，因变量是温度 B．温度越高，传播速度越快 C．当温度为时，声音可以传播 D．温度每升高，传播速度增加【解答】解：、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；、温度越高，传播速度越快，故故原题说法正确；、当温度为时，声音可以传播，故故原题说法正确；、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；故选：．3．一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间（分间的函数表达式为　　A． B． C． D．【解答】解：一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间（分间的函数表达式是：，故选：．4．（2021春•福田区校级期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据，设鸭的质量为千克，烤制时间为分钟，估计当时，的值为　　鸭的质量千克0.511.522.533.54烤制时间分406080100120140160180A．140 B．200 C．240 D．260【解答】解：由表格数据知与的函数表达式为：．当时，（分钟）．故选：．5．（2019秋•凤翔县期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：第1个图：，第2个图：，第3个图：，以此类推第个图：，故选：． 二、填空题（共5小题）6．（2019春•邛崃市期中）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　    　是自变量，　  　是因变量．【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，所以销售量是自变量，销售收入为因变量．故答案为：销售量，销售收入．7．（2021春•龙泉驿区期中）长方形的周长为10，其中一边为，另一边为，则与的关系式为　  　．【解答】解：由题意得，整理得．故答案为．8．（2020春•双流区期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油4升，则油箱内余油量（升与行驶时间（小时）的关系式为　　     ．【解答】解：由题意得．故答案为：．9．（2020春•彭州市期末）个月的婴儿生长发育得非常快，在个月内，一个婴儿的体重与月龄之间的变化情况如下表：月龄月123456体重克470054006100680075008200在这个变化过程中，婴儿的体重与月龄之间的关系式是　　      ．【解答】解：根据题意，得与之间的关系式为：．故答案为：．10．（2021春•罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系如表：则蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式　　   ．分0246810厘米302928272625【解答】解：由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，．故答案为：． 三、解答题（共3小题）11．（2021春•深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量吨，则需要交水费元，收费标准如表所示：月用水量吨不超过12吨部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元吨）2.002.503.00（1）　     　是自变量，　　是因变量；（2）若用水量达到15吨，则需要交水费　　元；（3）用户5月份交水费54元，则所用水为　　吨；（4）请求出：当时，与的关系式．【解答】解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，故答案为：用水量，水费；（2）（元，故答案为：31.5；（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，根据题意得：，解得：，故答案为：23；（4）当时，．12．（2020秋•福田区校级月考）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：汽车行驶时间（小时）0123油箱剩余油量（升100948882（1）如表反映的两个变量中，自变量是　       　，因变量是　    　．（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为　　升，汽车每小时耗油　　升．（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用来表示．【解答】解： 1 由题意可知，自变量为汽车行驶时间，因变量为汽车油箱的剩余油量．故答案为：汽车行驶时间，汽车油箱的剩余油量． 2 由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小时，耗油量为6升．故答案为82，6． 3 由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱刺余油量和汽车行驶时间的关系为．故答案为．13．（2020春•锦江区校级期中）如图，，是线段上一点，分别以，为边作正方形，，两个正方形的面积之和为．（1）写出与之间的关系式；（2）当分别为和时，比较两个的大小；（3）存在最小值吗？如果存在，请写出的最小值，并说明理由；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，．（2）当时，．当时，．，当时，大．（3）由（1）得知：，当时，取得最小值．