专题10 三角形（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

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专题10 三角形知识网络  重难突破知识点一  三角形角和边1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫作三角形． 边三角形有三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：，，或，，．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．三角形有三个顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形有三个内角．三角形的记法三角形用符号“”来表示，顶点是，，的三角形记作，读作“三角形”． 2、三角形的分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．   3、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．4、三角形的边（1）对于任意的，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设、为定点），由“两点之间，线段最短”可得：．同理可得：，．即：三角形任意两边之和大于第三边．    推论：三角形任意两边之差小于第三边．理论依据：两点之间，线段最短.（2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围；②判断三条线段能否组成三角形. 注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形. 典例1（2019春•青羊区期末）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故选：D． 典例2（2021春•龙岗区校级期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，3，5 D．2，6，10【解答】解：．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；．，能组成三角形，故此选项符合题意；．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；故选：． 典例3（2019•金华）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是　　A．1 B．2 C．3 D．8【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即，即符合的只有3，故选：． 知识点二  三角形三条重要线段 名称图形定义几何语言三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为是的高（已知），所以于点（或）三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为是的角平分线（已知），所以三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为为的中线（已知），所以（或）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部． 典例1（2020春•高明区期末）如图，已知点是中边上的一点，线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条　　A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的垂直平分线【解答】解：由题意知，当线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条中线．故选：． 典例2（2020春•顺德区校级期末）如图，在中，已知点、分别是、边上的中点，且，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：由于、分别为、的中点，、、、的面积相等，，．故选：． 典例3（2021春•历城区期中）如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法中正确的是　　A．中，是边上的高 B．中，是边上的高 C．中，是边上的高 D．中，是边上的高【解答】解：于点，中，是边上的高，故选项正确，选项错误；于点，中，是边上的高，故选项错误，选项错误．故选：． 典例4（2020•恩施市模拟）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则　　．【解答】解：是的边上的中线，，又，的周长比的周长多，，即，，故答案为：10；巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019春•皇姑区期末）若三角形的两个内角的和是，那么这个三角形是　　A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【解答】解：第三个角是，则该三角形是钝角三角形．故选：．2．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是　　A．2，2，4 B．2，6，3 C．12，5，6 D．7，3，6【解答】解：根据三角形的三边关系，得、，不能组成三角形；、，不能组成三角形；、，不能组成三角形；、，能够组成三角形．故选：．3．（2020秋•门头沟区期末）如图所示，中边上的高线是　　A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【解答】解：由图可得，中边上的高线是，故选：．4．（2020秋•海珠区校级期末）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是　　A．6 B．13 C．14 D．15【解答】解：设第三边为，根据三角形的三边关系知，．由于第三边的长为偶数，则可以为6，三角形的周长是．故选：．5．（2021春•福田区校级期中）如图，，，则中线的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：延长至，使，连接，如图所示．点为中点，．在和中，，．．在中，由三角形三边关系可得，，即①，②．解①得，解②得．故．故选：．6．（2021春•南山区校级期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　　A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：． 二、填空题（共5小题）7．（2020春•宝安区期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　   　三角形．【解答】解：三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，这个三角形一定是直角三角形．故答案为：直角．8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有　 　对．【解答】解：与、与、与共三对．故答案为：3．9．（2021春•盐田区校级期中）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为　　．【解答】解：为的中线，，的周长，，，，即，的周长，故答案为：．10．（2019春•通川区期末）如图，是中边上的高，是的平分线，若，，则　　   ．【解答】解：，，，平分，，是边上的高，，，，，故答案为：．11．（2021春•龙岗区校级期中）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则　  　．【解答】解：过点作，交于，连接，为的中点，为的中位线，，，，，，，，，，，，，，故答案为27． 三、解答题（共2小题）12．（2019秋•瑶海区期中）已知的三边长分别为，，．（1）若，，满足，试判断的形状；（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．【解答】解：（1），，，，是等边三角形； （2），，且为整数，，即，，5，6，当时，周长的最小值；当时，周长的最大值．13．（2020春•福田区校级期末）如图，为的中线，为三角形中线，（1），，求的度数；（2）在中作边上的高；（3）若的面积为60，，则点到边的距离为多少？【解答】解：（1）是的一个外角，． （2）如图所示，即是中边上的高． （3）为的中线，为三角形中线，；，，即点到边的距离为6．