人教版第十七章 勾股定理综合与测试课后练习题

这是一份人教版第十七章 勾股定理综合与测试课后练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2022年八年级下册第17章《勾股定理》单元检测卷
满分100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共30分)
1．(本题3分)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（       ）．
A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
2．(本题3分)如图，字母B所代表的正方形的边长是（　　）

A．194 B．144 C．13 D．12
3．(本题3分)已知一个的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（       ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
4．(本题3分)如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
5．(本题3分)在中，，，，则点到的距离是（       ）
A． B． C． D．
6．(本题3分)如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（       ）

A． B．2 C． D．1
7．(本题3分)将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）

A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
8．(本题3分)三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（        ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
9．(本题3分)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则（       ）

A．86 B．64 C．54 D．48
10．(本题3分)如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（       ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________

12．(本题4分)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

13．(本题4分)如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的值：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是_________．

14．(本题4分)如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：）计算两圆孔中心A和B的距离为________．

15．(本题4分)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____．

16．(本题4分)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．

三、解答题(共46分)
17．(本题6分)如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．

18．(本题6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？


19．(本题6分)如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高，长．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．



20．(本题6分)如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？



21．(本题6分)如图，中，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点处．

若，求的面积；
求证：．


22．(本题8分)在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
（1）如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长；
（2）如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长．



23．(本题8分)细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．

       
       
       
……
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律________，_________；
（2）请推算出的长；
（3）求出的值．








参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】
解：A、1.52+22≠22，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．D
【解析】
【分析】
正方形的面积就是三角形斜边和直角边的平方，字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，计算得出字母B面积的算数平方根即可．
【详解】
解：如图：

根据勾股定理可以得出：
B的面积=169-25=144，
B所代表的正方形的边长=．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：由于4是三角形的直角边与斜边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】
解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝，
AC＝，
AB＝，
在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
5．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．
【详解】
解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴，
则点C到AB的距离是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．
6．D
【解析】
【分析】
先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵和是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC=，
在Rt△BDF中，DF=．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详解】
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，
∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．

【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围，主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
8．C
【解析】
【分析】
化简：，即可得到结论．
【详解】
解：∵，
∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，
所以为直角三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
9．C
【解析】
【分析】
分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系，即可得到结果．
【详解】
解：如图1，过点E作AB的垂线，垂足为D，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x，
∴AD=BD=AB=x，
∴DE==x，
∴S2==，
同理：S1=，S3=，
∵BC2=AB2-AC2，
∴S3=S2-S1，
如图2，S4==，
同理S5=，S6=，
则S4=S5+S6，
∴S3+S4=45-16+11+14=54．

【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10．A
【解析】
【分析】
根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】
将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【详解】
解：如图：

由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
12．3cm
【解析】
【分析】
由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
【点睛】
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
13．③
【解析】
【分析】
由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，得出AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【详解】
在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7
由勾股定理得：AB＝＝，
由题意可知AB＝A′B′＝，
又OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝，
∵，
∴
∴BB′＝7−＜1．
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
14．
【解析】
【分析】
根据题图分别求得，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】
根据题图可知,

．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的计算，从图中获取信息是解题的关键．
15．25
【解析】
【分析】
由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】
解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：


∴BD=15，AD=20，
∴在Rt△ADB中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：


∴BD=25，AD=10，
∴在Rt△ADB中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为25．
【点睛】
本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．
16．x2−（x−3）2＝82
【解析】
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
17．四边形ABCD的面积为36．
【解析】
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】
解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四边形ABCD的面积为36．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
18．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
19．覆盖在顶上的塑料薄膜需
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】
解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边=m，
∴覆盖在顶上的塑料薄膜面积=×10≈．
【点睛】
考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算．应知道阴影部分是一个矩形．
20．E应建在距A点15km处
【解析】
【分析】
设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可；
【详解】
设，则，
由勾股定理得：在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，E应建在距A点15km处．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键．
21．（1）126；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理容易求出AD长；进而求出BD，从而得到BC长，再由三角形面积公式即可求解；
（2）利用勾股定理易得，再利用平方差公式分解因式可得，根据折叠性质和线段和差关系即可得出结论．
【详解】
（1）解：是边上的高，


在中，


在中，



(平方单位)．
（2）证明：沿所在的直线翻折得到

在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得，





．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，利用由勾股定理求解是解决问题的关键．
22．（1）CE的长为；（2）CE的长为．
【解析】
【分析】
（1）设，则；在Rt△ACE中根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题．
（2）首先求出CB′=3；设出未知数，在Rt△中，根据勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】
设CE=x，则BE=8-x．
（1）在图1中，由折叠的性质，得AE=BE，
∵在Rt△ACE中，，
∴，
解得：．
即CE的长为；
（2）在图2中，
∵B′是AC的中点，
∴CB′==3，
由折叠的性质，得，
∵在Rt△中，，
∴，
解得：．
即CE的长为．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性设未知数，利用勾股定理构建方程解决问题．
23．（1），；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据总结的规律计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵，，
，，
，，
……，
∴，；
（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，
∴OA10=，
故答案为：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=()2+()2+()2+…+()2
= (1+2+3+…+10)
=．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．