2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测试(三)

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 2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测试(三) 集合Z中元素的个数为A. 5 B. 4 C. 3 D. 2若复数，则A. i B.  C.  D. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.某校欲组建航空航天课外兴趣小组，现从甲、乙、丙、丁4位学生中任选2人去航空航天博物馆进行参观学习，则甲、乙两位学生至少有一位被选中的概率为A.  B.  C.  D. A. 2 B.  C. 1 D. 已知函数，若，则A.  B.  C. 2 D. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，，E、F分别是线段BC、CD的中点，若，，则直线PE与AF所成角的余弦值为
 A.  B.  C.  D. 已知动点到直线的距离的平方比到坐标原点O的距离的平方大4，若动点Q满足，且存在定点P，使得为定值s，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4若关于x的方程在内有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为A.  B.  C.  D. 有一组样本数据，，，的平均数、众数和中位数均为3，方差为2，由这组数据得到新样本数据，，，的平均数、众数、中位数及方差分别为a、b、c及d，则A.  B.  C.  D. 已知双曲线的离心率为e，则A. 双曲线C的焦点不可能在y轴上
B. 是该双曲线的一个焦点
C. 该双曲线的渐近线方程可能为
D. e的最大值为已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法错误的是A.
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的最大值为2
D. 若为偶函数，则Z若，则下列说法一定正确的是A.  B.
C. 若，则 D. 若，则已知向量，，，若，则实数________.的展开式中，除常数项外，各项系数和为________.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则外接圆的半径为________.如图所示，四边形ABCD为菱形，，，平面ABCD，M，P，Q分别为BG，BA，EF的中点，N为平面EFG内一点，且直线平面当的面积最小时，三棱锥的外接球的体积为________.

  2021年8月5日，在东京奥运会乒乓球女团决赛中，中国队战胜日本队，获得金牌．2021年8月6日，在东京奥运会乒乓球男团决赛中，中国队战胜德国队，获得冠军．某乒乓球业余爱好者协会为了解某社区青少年喜欢打乒乓球是否与性别有关，做了相关调查，制成如下列联表． 喜欢不喜欢总计男8020100女7030100总计15050200男、女青少年喜欢乒乓球的频率分别为多少？能否有的把握认为喜欢乒乓球与性别有关？附：，k






 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求；若的面积，求a的最小值．






 已知正项数列的前n项和为，且满足求数列的通项公式；若…，求






 如图，在圆锥PO中，A，B，C，D四点在底面积圆O上，且，证明：若平面PAB与平面PCD的交线为l，且二面角的余弦值为，求圆锥PO的体积．






 已知直线是曲线在处的切线．求a，b的值；证明：






 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点E为椭圆C上一动点，O为坐标原点．若，求的面积；若过点E的斜率为k的直线l与椭圆C相交于另一点F，，M为线段EF的中点，射线OM与椭圆C相交于点N，与的面积分别为、，求的取值范围．







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查集合中元素个数问题，属于基础题.
利用列举法化简集合A，即可得到集合A中的元素个数.【解答】解：，
所以集合A中的元素个数为
故答案选：  2.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，共轭复数，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：，
则
故答案选：  3.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题.
利用列举法列举基本事件，再求事件的概率.【解答】解：从甲、乙、丙、丁四人中任取两人，共有甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁种方法，其中甲、乙两位学生至少有一位被选中的有甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁种方法，
故所求事件的概率为
故选：  4.【答案】C
 【解析】【分析】本题考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.
由二倍角公式以及诱导公式化简可得.【解答】解：
故答案选：  5.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查对数函数的运算，属于基础题.
由，则，根据，即可求出【解答】解：因为，故函数的定义域为R，
因为，
所以函数为奇函数，所以，
又因为，所以，所以
故选：  6.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的应用，考查余弦定理，属于中档题.
在线段AB上取一点G，且连接GE，PG，由图可知，为异面直线PE与AF所成角，利用余弦定理即可得放入三角形中进行求解.【解答】解：在线段AB上取一点G，且连接GE，PG，如图所示，
在四边形ABCD中，易证，所以为异面直线PE与AF所成角，
因为，，
所以，，
所以，
则异面直线PE与AF所成角的余弦值为

故选：  7.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查抛物线的综合应用，要求考生掌握数形结合的思想，把动态问题借助于焦点或准线转移到静态问题上，属于中档题.
根据已知条件，得到动点M的轨迹方程，即可求解.【解答】解：由题意可知，，解得，
因此点M的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过点M作准线的垂线，垂足为N，
所以
因为，即
因为存在定点P，使得为定值，
所以有，此时点P为抛物线的焦点，
所以
故选：  8.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查函数与方程的关系，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化，构造函数，属于中档题.
方程等价于，令，利用导数研究函数的单调性，可得，即可求解.【解答】解：方程等价于，令，则，
令，则在内恒成立.
所以在上单调递增，因为，所以当时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，故实数a的取值范围为
故选：  9.【答案】BC
 【解析】【分析】本题考查数字特征，考查处理前后数据的平均数、众数、中位数及方差之间的关系，属于基础题.
根据前后样本数据之间的平均数、众数、中位数及方差之间的关系可得.【解答】解：因为，，，的平均数，众数和中位数均为3，方差为2，
所以数据，，，的平均数、众数、中位数及方差分别为7、7、7及8，
所以及，所以A，D项错误，B、C项正确.
故选：  10.【答案】AD
 【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程和性质，属于基础题.
利用双曲线的标准方程和性质逐个判断即可.【解答】解：对于A，由题意知，则，
所以双曲线的焦点在x轴上，故A项正确;
对于B，焦距为，焦点坐标为，故B项错误;
对于C，因为该双曲线的渐近线方程为，
，所以C项错误.
对于D，因为，又，则，
则，
所以，所以e的最大值为，故D项正确；
故选：  11.【答案】AC
 【解析】【分析】本题考查三角函数的综合应用，理解三角函数的对称性、单调性、周期性，属于中档题.
根据题意，结合三角函数图象与性质，进而对选项进行一一验证即可.【解答】解：因为直线为函数图象的一条对称轴，所以，因为，所以，故A错误；
所以，令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，故B正确；
当时，，则  ，所以在区间上的最大值为1，故C错误；
，若函数为偶函数，则，解得，故D正确.
故选：  12.【答案】ACD
 【解析】【分析】本题考查不等式性质，要求考生理解对数的运算性质及指数函数的性质，属于中档题.
利用函数单调性以及不等式性质逐项分析求解.【解答】解：因为，所以，所以，故选项A正确；
令，，所以，故选项B不正确；
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以，即，故选项C正确；
因为，所以，所以，
所以，即，故选项D正确.
故选：  13.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示，属于基础题.
由向量的坐标运算得，根据两向量共线的充要条件解答即可.
【解答】
解：向量，，
，
，，，解得  14.【答案】49
 【解析】【分析】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题，属于中档题.
利用二项式展开项通项公式，以及二项式定理即可求解【解答】解：的展开式的通项公式为，，1，2，，6，
令，解得，所以展开式中的常数项为，
令，得到所有项的系数之和为，
所以除常数项外，各项系数的和为
故答案为：  15.【答案】5
 【解析】【分析】本题考查解三角形，要求考生掌握正、余弦定理及三角恒等变换，属于基础题.
利用余弦定理及同角三角关系求得，即可利用正弦定理求解.【解答】解：，
所以，因为，
所以，因为，
所以外接圆的半径为
故答案为：  16.【答案】
 【解析】【分析】本题考查球的体积公式、线面平行的性质、面面平行的判定、面面平行的性质，属于中档题.
证出平面平面AEG，求出的面积最小时，三棱锥的外接球半径，即可求出结果.【解答】解：因为，，且平面ABCD，
所以四边形GBCF，EDCF均为矩形，
所以，，
所以四边形APQE为平行四边形，
所以，
因为平面AEG，平面AEG，
所以平面AEG，
因为，
且平面AEG，平面AEG，
所以平面AEG，
又，
所以平面平面AEG，
因为直线平面MPQ，
所以点N在直线EG上，
由题意易知，，
因为，
所以当FN最小时，的面积最小，
因为四边形ABCD为菱形，
所以，
所以当N为EG中点时，FN最小，
所以平面EGB，
所以，
所以，均是以BF为斜边的直角三角形，
所以BF是三棱锥外接球的直径，
又因为，
所以，
所以三棱锥外接球的半径为，
故三棱锥外接球的体积为
故答案为：   17.【答案】解：男生喜欢乒乓球的频率为，
女性喜欢乒乓球的频率为
由题知，，
所以没有的把握认为喜欢乒乓球与性别有关.
 【解析】本题主要考查以奥运会中国丘乓球女团、男团夺冠为情景，要求考生运用独立性检验等相关知识解答相关问题.要求考生有运用所学知识解决实际问题的能力，体现数学运算及数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.属于基础题.
根据列联表即可求解；
由计算可得.
 18.【答案】解：设R为三角形的外接圆的半径，
所以
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，且，所以
因为，所以，所以，
由易知，，
因为，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以a的最小值为
 【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式，考查正弦定理，考查同角三角函数的基本关系，考查余弦定理及基本不等式，属于中档题.
设R为三角形的外接圆的半径，由正弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系，求出即可;
由易知，，利用余弦定理及基本不等式即可求出a的最小值.  19.【答案】解：当时，，，，
当时，，，两式作差得：，
，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
 由得，，，两式相减得：

 
 【解析】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的判定及通项公式，以及错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
利用数列的递推关系，根据与的关系，可推出是以1为首项，1为公差的等差数列，由此可得的通项公式；
利用错位相减法求和可得.
 20.【答案】证明：因为，，
所以，故线段AD为圆O的直径.
连接OC，因为，所以，所以，
又因为，且，PO、平面POC，所以平面POC，
因为平面POC，所以；
解：由题意，四边形ABCD是等腰梯形，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，因为，，
所以，，，，，
所以，，，
设平面PAB的法向量，所以，即，
取，解得，，所以平面PAB的一个法向量
设平面PCD的法向量，所以，即，
取，解得，，所以平面PCD的一个法向量，
因为二面角的余弦值为，所以，解得或经检验，不合题意，
所以圆锥PO的体积为
 【解析】本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角，利用空间向量求面面的夹角，圆锥体积的计算，属于中档题.
根据题意利用线面垂直的判定定理证明平面POC，再由平面POC，线面垂直的性质可得；
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出，再由圆锥的体积公式可得.
 21.【答案】解：因为，
所以，
又因为，所以，
综上知，
证明：先证：，即，令，，
由，解得，由，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间
上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.
再证：，即，令，
，由，解得，由，解得所以
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，
即当且仅当时等号成立.
所以
 【解析】本题考查导数的几何意义，构造函数，考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式，属于较难题.
由题知，，将代入，可求出a，b；
将问题转化为先证：，利用导数研究函数得单调性即可；再证，构造函数，利用导数研究函数得单调性即可得证.
 22.【答案】解：设，，所以，
由于，
，，所以
所以的面积为
因为M为线段EF的中点，所以与的面积之比；
设直线，，，
由，得，
所以，，所以，
因为，所以，；
所以，，即；
整理得：，满足；
当时，，此时；
当时，射线OM所在直线方程为，由，得；
所以，；
综上，的取值范围
 【解析】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题；
设，，运用余弦定理即可解决问题；
直线与椭圆联立，韦达定理，求出斜率与截距的关系；根据点M为中点，表示出面积比值，结合前面所求解决问题.