湖南省邵阳市2020届高三二模数学试题卷理科含答案

高三数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限       B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）

A．       B．       C．       D．

4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（    ）

A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长

B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升

C．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额

D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降

5．设满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．       B．2       C．0       D．4

6．在中，的对边分别是，且，则边上的高线的长为（    ）

A．       B．       C．       D．

7．如图，在中，为中点，与相交于，若，则（    ）

A．4       B．       C．       D．

8．如图，在正方体中，分别是的中点，有下列四个结论：

①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①④       B．②④       C．①③④       D．②③④

9．已知是曲线上一点，则的最小值为（    ）

A．1       B．       C．       D．

10．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足．如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前50项，则图中的空白框应填入（    ）

A．       B．       C．       D．

11．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ）

A．              B．

C．              D．

12．点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，且，设直线的斜率分别为，则（    ）

A．              B．

C．直线过点              D．直线过点

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知函数则的值为________．

14．设为锐角，若，则________．

15．某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小（含小学）支教，每位教师只能支教一所村小学，且每所村小学都有老师支教．甲不去小学，则不同的安排方法数为________．

16．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在公比大于0的等比数列中，已知，且成等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）已知，试问当为何值时，取得最大值，并求的最大值．

18．（12分）

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为0.5，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测．每件产品的合格率为0.8，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收．

（1）求某件产品能出厂的概率；

（2）若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1500元/件，每次检测费为100元/件，技术处理每次100元/件，回收获利100元/件．假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得的利润，求随机变量的分布列与数学期望．

19．（12分）

在三棱锥中，，平面平面，点在棱上．

（1）若为的中点，证明：．

（2）若与平面所成角的正弦值为，求．

20．（12分）

已知椭圆上的点到左、右焦点的距离之和为，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值．

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若的最小值为，求的取值范围．

（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，极点为，一条封闭的曲线由四段曲线组成：，，，．

（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；

（2）若直线与曲线恰有3个公共点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得关于的方程恰有一个实数根，求的取值范围．

高三数学试卷参考答案（理科）

1．B  【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力

因为，所以．

2．A  【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．

，则在复平面内所对应的点位于第一象限．

3．D  【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力．

由题意知双曲线的渐近线方程为可化为，则，解得．

4．C  【解析】本题考查统计图表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．

到20l9年在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，选项C说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的．

5．B  【解析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力．

由题可知，再画出可行域知（图略），当平移到过点时，取得最大值，最大值为2．

6．A  【解析】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力．

因为b，所以由余弦定理，可得，整理可得，又，所以，，所以边上的高线的长为．

7．D  【解析】本题考查平面向量基本定理，考查逻辑推理的能力．

由．

因为三点共线，所以，解得，

同理可得，所以．

8．B  【解析】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力．

因为，所以与是相交直线，又，所以相交于一点，则①不正确．②正确．

③令，因为分别是，的中点，

所以，则为平行四边形，

所以，因为平面平面，

所以平面，则③不正确，④正确．

综上所述，②④正确，故选B．

9．C  【解析】本题考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想、数形结合思想．

的导数为，设，可得过的切线的斜率为，当垂直于切线时．取得最小值，可得，则，因为单调递增，且，所以，所以的最小值为．

10．A  【解析】本题考查数学文化在算法中的应用，考查逻辑推理能力．

执行第1次，，循环，因为第二次应该计算，，循环，执行第3次，因为第三次应该计算，由此可得图中的空白框应填入．

11．D  【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的思想及逻辑推理能力．

，

若，则，

∴，则，又，解得．

又解得，

当时，；当时，，可得．

∴．

12．C  【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查数形结合的思想及运算求解能力．

设，则，，所以，直线的方程为，因为，所以，即，代入方程得，则直线过点．

13．2  【解析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力．

因为，所以．

14．  【解析】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查运算求解能力．

因为为锐角，所以，则，，所以．

15．100  【解析】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想与逻辑推理能力．

小学若安排3人，则有种，小学若安排2人，则有种，小学安排1人，则有种，故共有100种．

l6．  【解析】本题考查圆锥以及球的结构特征，考查空间想象能力及运算求解能力．如图，设，则．设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高，设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．

17．解：（1）设的公比为，由，得，                 1分

因为成等差数列，所以，则，           3分

解得，．                   5分

所以．              6分

（2），                    9分

当或4时，取得最大值，．               12分

评分细则：

（1）第一问中若利用等比数列的通项公式列出关系式得3分，解出各得1分，求出通项公式得1分．

（2）第二问未说明当或4时，取得最大值，扣2分．

18．解：（1）设事件为“某件产品第一次检验合格”，事件为“某件产品第二次检验合格”，则，，                        2分

所以某件产品能够出厂的概率，               4分

（2）由已知，若该产品不合格，则，         5分

该产品经过第二次检验才合格，则，           6分

该产品第一次检验合格，则，                       7分

所以的所有可能取值为，400，600，

，                  8分

，                  9分

．                 10分

的分布列为

元．               12分

评分细则：

（1）第一问求出事件的概率分别得1分．

（2）第一问没有取事件名，计算得4分，算错不得分．

（3）第二问中未列出分布列扣2分．

19．（1）证明：取的中点，连接，，因为，所以，           1分

又因为平面平面，且相交于，所以平面，         2分

所以，

因为，所以，              3分

所以．所以，            4分

所以，且为的中点，所以．            5分

（2）解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得，                     6分

．

设

则，               7分

设平面的法向量为，

由，得

可取，                 9分

所以，                  10分

解得（舍去），，                         11分

所以．             12分

评分细则：

（1）第一问也可以先建立空间直角坐标系．用向量方法证明，证出得满分．

（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标得1分，计算出平面的法向量得2分．

（3）若用传统做法，作出二面角得2分，简单证明得2分，整个试题完全正确得满分．

20．解：（1），所以，                2分

，所以，所以，                 4分

椭圆的标准方程为．                        5分

（2）由题可知直线的斜率必存在，又，设直线的方程为，，，，                         6分

联立直线与椭圆的方程化简得，

所以，                 7分

，            9分

，                  10分

，当且仅当时，取得最大值，           11分

所以面积的最大值为，                   12分

评分细则：

（1）第一问得出各得2分，写出椭圆的标准方程得1分．

（2）第二问未说明直线的斜率存在扣1分．

（3）若采用其他方法解题，按步骤相应给分．

21．解：（1）的定义域为，

，                      1分

令，解得或，                     2分

令，则，故在上单调递增．              3分

当或时，只有一个零点；                    4分

当或时，有两个零点．                5分

（2）当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得最小值且最小值为，符合题意．         7分

当时，则在上单调递增，则必存在正数使得．     8分

若，则，在和上单调递增，在上单调递减，

又，故不符合题意．                     9分

若，则，所以，在上单调递增，又，故不符合题意．        10分

若，则，在和上单调递增，在上单调递减，

当，时，与的最小值为矛盾．            11分

综上，的取值范围为．              12分

评分细则：

（1）第一问求导正确得1分．未考虑只有一个零点，扣1分．

（2）若采用其他方法解题，按步骤相应给分．

22．解：（1）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为，，              2分

．               4分

曲线由弧，弧，弧，弧四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积．                 6分

（2）直线的直角坐标方程为，即．        7分

当直线经过点时，，                8分

当直线经过点时，，               9分

故的值为．                  10分

评分细则：

（1）第一问求出曲线的直角坐标方程共得4分，每一段曲线分别得1分，求出封闭曲线所围成的图形面积得2分．

（2）第一问分情况讨论，每种情况得2分．

（3）若采用其他方法解题，按步骤相应给分．

23．解：（1）①当时，得，解得，所以；               2分

②当时，得，解得，所以；              3分

③当时，得，解得，所以．        4分

综上．不等式的解集为，                    5分

（2）                      6分

若关于的方程恰有一个实数根，则有解，               8分

又，所以．           10分

评分细则：

（1）第一问中，分类讨论不分先后顺序，每答对一个得1分，最终答案未写成解集形式，不扣分．

（2）第二问求出的解析式得1分，说明的值域可得1分，得出关系有解得1分．