北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数导学案，共8页。


某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－eq \f(1,12)x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3).
[问题] (1)此函数是一元二次函数吗？
(2)当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？



知识点一 一元二次函数的图象变换
1．抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．
2．一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
eq \a\vs4\al()
一元二次函数图象变换
一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
知识点二 一元二次函数的性质
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：
(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；
(2)当a＞0时，抛物线开口向eq \a\vs4\al(上)；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝eq \a\vs4\al(k)．
当a＜0时，抛物线开口向eq \a\vs4\al(下)；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝eq \a\vs4\al(k)．
1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：选D 设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3，故选D.
2．如果将一元二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为x＝3，最大值为1，则m，n的值为( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－5,n＝3)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝－1))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1,n＝3)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝3))
解析：选D 由题意知，变换后所得函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后将函数y＝a(x－3)2＋1的图象先向上平移2个单位长度，得到函数y＝a(x－3)2＋3，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数y＝a(x－1)2＋3的图象，因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝3，))故选D.
[例1] 已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2).
∴m＝eq \f(1,2).又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
eq \a\vs4\al()
求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式；
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)；
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
[跟踪训练]
根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；
(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．
解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题设知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝2.))
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2x2－4x＋4.
(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，
整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝eq \f(3,8).
∴解析式为y＝eq \f(3,8)(x－2)(x－4).
[例2] (链接教科书第33页例1)抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的( )
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
[解析] ∵抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0，0)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
一元二次函数图象平移问题的解题策略
(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；
(2)将函数化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式；
(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小．
[跟踪训练]
将抛物线y＝eq \f(1,2)x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋5 B．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋5
C．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋3 D．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋3
解析：选B 抛物线y＝eq \f(1,2)x2－6x＋21＝eq \f(1,2)(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3)．将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋5.
[例3] (链接教科书第33页练习1题)(1)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；
(2)在区间[2，3]上，求函数y＝x2－3x－7的最大值与最小值．
[解] (1)由y＝x2－3x－7＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(37,4)，
∵x∈R，
∴当且仅当x＝eq \f(3,2)时，ymin＝－eq \f(37,4).
(2)由(1)知，该函数的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)∉[2，3]，图象开口向上，在区间[2，3]上，函数值y随x的增大而增大，
∴函数在区间[2，3]上，函数在x＝3处取最大值，即ymax＝－7，在x＝2时取最小值，即ymin＝－9.
[母题探究]
(变条件)若本例 (2)条件变为x∈[－1，3]，求函数的最大值与最小值．
解：由函数的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)∈[－1，3]，图象开口向上，∴当x＝eq \f(3,2)时，函数取得最小值，ymin＝－eq \f(37,4)，函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))上函数值y随x的增大而减小，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))上函数值y随x的增大而增大．
∴当x＝3时，ymax＝－7.
eq \a\vs4\al()
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向；
二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．
[跟踪训练]
一元二次函数y＝－x2＋2x－5，当x取全体实数时，有( )
A．最大值－5 B．最小值－5
C．最大值－4 D．最小值－4
解析：选C 配方，得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝－1时，ymax＝－4.
[例4] 已知一元二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；
(2)求此函数图象与x轴，y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0?
[解] (1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．
(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·|OC|＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
(3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1eq \a\vs4\al()
观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－eq \f(b,2a)的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．
[跟踪训练]
如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
1．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是( )
A．2，4 B．－2，4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C 由题意，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝1，,a－b＋1＝7))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－4，))故选C.
2．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2
解析：选D ∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，
∴顶点坐标(0，1)．将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.
3．下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是( )
A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1
C．y＝eq \f(1,2)x2－2x－1 D．y＝eq \f(1,2)x2＋2x＋1
解析：选B ∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意．
4．已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[0，2]
C．[2，4] D．(－∞，4]
解析：选C ∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；
当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，
∴当x＝0或4时，y＝3.
又∵当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，
∴2≤m≤4.
5．已知函数y＝x2＋mx＋1，在区间[1，＋∞)上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为( )
A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－1]
解析：选A y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－eq \f(m,2)，由题意，可得－eq \f(m,2)≤1，解得m≥－2，故选A.
新课程标准解读
核心素养
1.掌握一元二次函数的图象及图象变换
直观想象
2.会求一元二次函数的最值及相关问题
数学运算
一元二次函数解析式的求法
一元二次函数图象间的变换
一元二次函数的最值问题
一元二次函数的图象
x
－1
0
1
2
3
y
0
－6
－8
－6
0