安徽省安庆市2021-2022学年九年级下学期综合素质调研数学试题

这是一份安徽省安庆市2021-2022学年九年级下学期综合素质调研数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度第二学期综合素质调研
九年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（ ）
A. y=-x2+1 B. y= (x–1) 2 C. y= (x+1) 2 D. y =-x2-1
【1题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【详解】解：A、y=-x2+1的对称轴为x=0，所以选项A错误；
B、y= (x–1) 2的对称轴为x=1，所以选项B正确；
C、y= (x+1) 2的对称轴为x=﹣1，所以选项C错误；
D、y =-x2-1对称轴为x=0，所以选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知化简，得到、的关系，再代入原式化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的变形与整体带值化简，熟练掌握化简规则是解题的关键．
3. 在中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切值，设出BC、AC的值，再根据勾股定理算出AB的值，最后求出正弦即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴设BC=、AC=，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的边角关系，熟练掌握正弦、余弦、正切的比例是解题关键．
4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
5. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　）

A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】根据相似三角形的判定可得△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△CBH，共4对．故答案选C．
考点：相似三角形的判定．
6. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；
∴，
∵，
∴△CEG∽△CAB，
∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确C．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
7. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
8. 己知如图：，且，则的大小是（ ）

A. 45° B. 50° C. 55° D. 65°
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据OA=OC，得到∠A=∠OCA，由OB=OC，得到∠B=∠OCB=∠OCA++∠OCA，根据∠A+∠AOB=∠B+∠ACB，求出．
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=∠OCA++∠OCA，
∵∠A+∠AOB=∠B+∠ACB=，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，在中，，，D、E在斜边AB边上，，若，则的面积为（ ）

A. 6 B. C. 4 D.
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可得，证明，有即，进而可求的面积．
【详解】解：
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质．解题的关键在于证明．
10. 如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先设P点坐标为（a，a2﹣1），再根据勾股定理计算出OP，然后计算OP﹣PA．
【详解】解：设P点坐标为（a，a2﹣1），则OA＝a，PA＝a2﹣1，
∴，
∴OP﹣PA＝a2+1﹣（a2﹣1）＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线顶点在x轴上，那么______．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】抛物线的顶点在轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．
【详解】解：抛物线的顶点纵坐标为，
∵顶点在轴上，
∴，
解得，经检验符合题意
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点在轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．
12. 反比例函数图象与正比例函数图象交于，，则的值为______．
【12题答案】
【答案】－14
【解析】
【分析】将，分别代入，得，，根据直线与双曲线相交，可知与互为相反数，即，，代入代数式求解即可．
【详解】解：将，分别代入，得，
∵直线与双曲线相交，
∴与互为相反数，即，，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象，关于原点对称点坐标的特征．解题的关键在于明确两函数的交点坐标关于原点对称．
13. 如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为______．

【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】扇形AOB为以O为圆心，以OA为半径的圆的一部分，延长EF交CO于点C，连接OC，根据圆周角定理、勾股定理、解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，延长EF交OO于点C，连接OC，

∵∠AEF = 90°
∴AC为OO的直径，
∴A、O、C三点共线，
∵OA= OC, ∠AOB = 90°,
∴BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AF=CF
在Rt△AEF中，EF =6，AE=8，
∴AF === 10
∴CF= AF=10
∴CE=CF + EF =16
∴AC = = =
∴OA=AC=
即扇形AOB半径为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
14. 如图．直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足，则当______度时，线段OQ的最小值为______．

【14题答案】
【答案】 ①. 30， ②. 2
【解析】
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，设OQ=m，PE=n，构造，建立一元二次方程，根据方程有实数根确定的最小值，进而求得∠POQ的度数，即可求得答案．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，设OQ=m，PE=n

∵直线与坐标轴相交于A、B两点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在 中, ,
,
在 Rt 中，
，
，
,
整理得, ,
,
,
,
解得, 舍弃 或 ,
最小值为 2 ,
的最小值为 2 , 此时 ,
,


∴

故答案为：30,2
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】原式
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16. 如图，已知直钱与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，点B的坐标为，求该抛物线对应的函数表达式．

【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】求出直线与y轴交点A的坐标，将点A、B的坐标代入抛物线解析式即可求出函数表达式．
【详解】令，，∴，
∵抛物线过，，
∴，
∴ ，
∴该抛物线对应的函数表达式为：．
【点睛】此题考查了求直线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式，熟记解题的方法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝ (k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．

【17题答案】
【答案】（1）；（2）1＜x＜4.
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标（1，4）代入，即可求出反比例函数的解析式；
（2）一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n=﹣1+5，解得：n=4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∵反比例函数y=（k≠0）过点A（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=．
联立，解得：或，
∴点B坐标为（4，1）．
（2）观察函数图象，发现：
当1＜x＜4.时，反比例函数图象在一次函数图象下方，
∴当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，x的取值范围为1＜x＜4．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．解题的关键是：（1）联立两函数解析式成二元一次方程组；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象上下关系结合交点横坐标解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标是关键．
18. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且，延长EF交BC的延长线于点G．

（1）求证：．
（2）若，求CG长．
【18~19题答案】
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
（2）由AB＝AD＝6，E为AD的中点，得出AE＝DE＝3，由勾股定理得出BE＝ ＝3 ，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝15，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
【小问2详解】
解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△ABE中，BE＝＝3，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝15，
∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)

【19题答案】
【答案】建筑物BC的高为m．
【解析】
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，根据Rt△DHB和Rt△ACB的三角函数值得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：

则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC=5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH=30°，
∴DH=（x﹣5），
∴AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，tan∠BAC=，
∴= 解得：x=，
答：建筑物BC的高为m．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

（1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积．
（2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧．
【20~21题答案】
【答案】（1）见解析，线段AB扫过的面积；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据坐标和旋转的性质，得，，，再根据扇形性质计算，即可得到答案；
（2）根据坐标、位似的性质，计算得，，，再分别连接、、，即可得到答案．
【小问1详解】
∵的三个顶点坐标分别是，，
∴绕O点逆时针旋转90°，得，，
如图所示：

即为所求
∵，
∴，
线段AB扫过的面积；
【小问2详解】
∵的三个顶点坐标分别是，，
∴，，
如图所示，

即为所求．
【点睛】本题考查了旋转、位似、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、位似、扇形面积计算的性质，从而完成求解．
六、（本题满分12分）
21. 如图，AB是的弦，点C是在过点B的切线上，且且交AB于点P．

（1）求证：
（2）若半径为，求证：为等边三角形．
【21~22题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质，等腰三角形的性质，证明，进而可证；
（2）如图，作于，由余弦值可知 ，，进而可证 是等边三角形．
【小问1详解】
证明：．∵，
∴，
∴
∵BC切于点B，OB为半径
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，作于

∴
∴
∴
∴
∵，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，特殊角的余弦值，等边三角形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用．
七、（本题满分12分）
22. 已知函数（m为常数），问：
（1）无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上某一定点，该定点坐标为______；
（2）求证：无论m为何值，该函数的图像顶点都在函数图像上：
（3）若抛物线与x轴有两个交点A、B，且，求线段AB的最大值．
【22~24题答案】
【答案】（1）
（2）见解析 （3）线段AB的最大值为3
【解析】
【分析】（1）令，，可得，，即可求解；
（2）先求出函数的顶点坐标为，再代入，即可求证；
（3）先求出，然后令线段AB的长度为z，则，再由，可得到，再根据一次函数的增减性，即可求解．
【小问1详解】
解：令，，
解得：，，
∴无论m取何值，该函数的图像总经过x轴上的点；
【小问2详解】
证明：∵，
∴函数的顶点坐标为，
∴当时，，
∴无论m为何值该函数图像的顶点都在图像上；
【小问3详解】
解：令，，
解得：，，
∴，
令线段AB的长度为z，则，
因为，
所以，
因为z随m增大而增大，
所以当时，，
故线段AB的最大值为3．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．

（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作，求证：．
（2）如图②，若，过点O作分别交BC、AD于点E，F．求证：．
（3）如图③，若OC平分，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作交OA于一点N，若，，直接写出线段MN长度．
【23~25题答案】
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）
【解析】
【分析】(1)根据题意，在中，根据相似三角形的性质，为中位线，即可得证；
(2) 因为，则，根据相似三角形的性质，对应边成比例，即可得线段之间的比例关系；
(3)因为，则可证，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得，即可求得线段的长度．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴O是AC中点，．
∵，
∴，
，
又，
，
，
∴E是BC中点，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
设，
，
，
，
，即，
，
即，
故的长度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．