河北省沧衡八校联盟2020-2021学年高一下学期期中数学试题期中数学试题

河北省沧衡八校联盟2020-2021学年高一下学期期中数学试题期中数学试题

1. 下列几何体中，面的个数最少的是

A. 四面体 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 四棱台

2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为

A. 1 B.  C. i D.

3. 已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

4. 在中，，，A为钝角，则BC的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为
    

A.  B. 8 C. 14 D.

6. 《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为
    

A. 16 B. 24 C. 12 D. 4

7. 已知是边长为2的正三角形，点M为所在平面内的一点，且，则AM长度的最小值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在棱长为2的正方休中，E，F，G分别为，，，的中点，过E，F，G三点的平而截正方休所得的截面面积为
    

A. 4 B.  C.  D.

9. 下列情况中，适合用抽样调查的是

A. 调查某村去年新生婴儿的数量
B. 调查某地区一年内的空气质量状况
C. 调查一条河流的水质
D. 调查一个班级学生每天的睡眠时间

10. 右图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是
     

A.  B. 平面EDG
C. 平面EDG D. 平面平面EBG

11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，下列各组条件中使得恰有一个解的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

12. 在正方体中，异面直线a和b分别在上底面和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为，且，当与b所成角为时，则a与侧面所成角的正切值可能为

A. 2 B. 3 C.  D.

13. 已知非零向量，满足，则与的夹角为__________.
14. 写出一个虚数z，使的实部为3，则__________.
15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为__________.
16. 已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为__________.
17. 2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人.为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本.

若在各层中按比例分配样本，试问在各年级中应分别抽取多少人？

如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分.






 

18. 已知复数，且

求复数z及；

若复数在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.






 

19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

求B；

若，求






 

20. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，

证明：平面平面

求三棱锥的体积.






 

21. 如图，在中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，

用向量，表示

试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.






 

22. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，

证明：平面

在侧面ACD内求作一点H，使得平面ACD，写出作法无需证明，并求线段AH的长.

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查几何体的结构特征，属于基础题．
直接根据几何体的特征去判断即可．

【解答】

解： 四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面．
故选

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法，复数的基本概念，i的幂运算的周期性，属于基础题.
先计算，再利用复数除法即可求得z，从而得到答案.

【解答】

解：因为，
所以

，
所以z的虚部为
故选

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查线面平行的判定与性质，线面垂直的判定与性质，属基础题．
由线面平行的判定与性质及线面垂直的判定与性质逐一判定各选项即可．

【解答】

解：对于A，的判定定理为：若m垂直于平面内的两条相交直线，故A错误；
对于B，由线面垂直的性质可得，若，，则，故B错误．
对于C，由线面垂直的性质可得，若，，则，故C正确；
对于D，若，，则或m在平面内，故D错误；
故选

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦定理的应用，考查“三角形两边之和大于第三边”的性质，属于基础题.
由A为钝角，得，从而得，解不等式，结合“三角形两边之和大于第三边”的性质，即可求得的范围.

【解答】

解：  设三角形三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
因为A为钝角，所以，
，推得，
即，解得，
又，
故
故选

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面图形与它的直观图应用问题，是基础题．
由题意得到原平面图形为邻边分别为6，1的平行四边形，进而求解即可．

【解答】

解：因为，，
所以，
在原图中，，，
，
所以，
所以原平面图形为邻边分别为6，1的平行四边形，其周长为
故选

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查棱柱和棱锥的结构特征，属于基础题.
由棱柱的结构特征和阳马的结构特征求出答案.

【解答】

解：根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共3个，而每个矩形可以形成4个不同的阳马，
所以阳马的个数是
同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有12个阳马，因此共有24个不同的阳马．
故选

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，向量的坐标运算和利用基本不等式求最值，属于拔高题.
首先以BC的中点O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，进而得到各个点的坐标，设，利用数量积的坐标运算求得，，进而根据题干得到，设，，解得，，最后利用两点间的距离公式和基本不等式求最值即可.

【解答】

解：如图，以 BC的中点O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，即，，，
则，

设，则，
即，，

所以

设，，
解得，，

则
，
当且仅当“”时等号成立，

所以AM长度的最小值为
故选

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体中的截面问题，属于中档题.
由题意可得截面为正六边形EFGHIK，再根据正六边形的棱长为，由此求出答案.

【解答】

解：如图所示：

可知过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面为正六边形EFGHIK，
且该正六边形的棱长为，
所以该正六边形的面积为
故选

9.【答案】BC
 

【解析】

【分析】

此题考查对抽样调查的认识，属于基础题.
根据调查对象较多时我们采取抽样调查的方法，对象较少时可全部调查进行分析即可.

【解答】

解：A，D适合用全面调查，因为调查对象较少；
B，C适合用抽样调查，因为调查对象较多．
故选

10.【答案】ABD
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间直线与平面的位置关系，线面垂直的判定，面面平行的判断的应用问题，也考查了空间想象能力，是中档题．
根据展开图作出正方体的直观图，再判断各命题是否正确．

【解答】

解：由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，

因为，，，AF，平面ADGF，
所以平面ADGF，
又平面ADGF，
所以，A正确；
由平面ABGH，平面ABGH，可得，
同理可得，
又ED，平面EDG，，
所以平面EDG，B正确；
由，平面EBG，平面EBG，
可得平面EBG，同理可得平面EBG，
又AH ，平面ACH ，，
所以平面平面EBG，D正确；
因为，平面ECG，平面ECG，
易证平面ECG，C错误．
故选

11.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
根据正弦定理分别判断即可．

【解答】

解： 对于A，，所以，
又，所以，这与矛盾，所以无解；
对于B，由正弦定理可得，即，
所以只有一解；
对于C，由正弦定理可得，
又，所以B有两解，即有两解；
对于D，由正弦定理可得，
又，所以B只有一解，即只有一解．
故选

12.【答案】CA
 

【解析】

【分析】

本题考查空间中的直线与平面所成的角，考查考生的空间立体感和逻辑推理能力，属于拔高题.
在正方体中，易得直线BD与所成角为，即可得或，然后将或分开进行求解即可得.

【解答】

解：在正方体中，易得直线BD与所成角为，
所以或，
当时，过点C作直线CE与BD交于点O，

使直线CE与BD夹角的正弦值为，则，
此时或，a与侧面所成角为，
因为，
所以
当时，
；
当时，


当时，同理．
故选

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查两个向量垂直的条件、向量的夹角，属于基础题．
根据题意可得，即，进而即可求得结果.

【解答】

解：设与的夹角为，由，
可得，
所以，则
故答案为 .

14.【答案】答案不唯一，只要 z的实部与虚部的平方差为3，且实部、虚部均不为0即可
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念和复数的四则运算，属于基础题.
设，则，只需满足，且即可.

【解答】

解： 设，a，R，
则，
只需满足，且即可．
可令，，
此时

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
根据，设，利用余弦定理求得，再利用面积公式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以
设，则，
在中，
由余弦定理可得，
解得，
所以
故答案为 .

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了球的表面积以及圆台的性质，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题．
画出图示，利用圆台的性质求和已知条件出球的半径，由此即可求解．

【解答】

解：如图所示：

在截面梯形ABDC中，，，
因为
，
解得
又因为，
所以，
所以该球体的表面积为
故答案为

17.【答案】解：该校共有学生人，

高一年级应抽取人，

高二年级应抽取人，

高三年级应抽取人．

全体学生问卷测试成绩的平均分为分．

【解析】本题主要考查分层抽样及求平均数的知识，属于基础题.
根据抽样比即可分别求解；
根据平均数公式代入计算，即可得解.
 

18.【答案】解：因为，且，

所以，
解得或舍去，

所以复数

即

，

因为复数在复平面内对应的点在第四象限，

所以解得

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于中档题．
把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a值，则z可求，再由复数模的计算公式求；
把代入，展开后由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．
 

19.【答案】解：由，
化简可得，

再由正弦定理得，
所以，

又因为，
所以

因为，
所以，
从而，

可得，
所以，

又因为，
所以

【解析】本题考查解三角形和三角恒等变换，属于中档题.
由正、余弦定理即可求解；
利用正弦定理和三角恒等变换公式得，进而可求
 

20.【答案】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

又因为平面ADE，平面ADE，所以平面

在矩形ABCD中，，平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE，又，BC、平面
所以平面平面

解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
在矩形ABCD中，，

又，FB、平面BCF，所以平面
因为，ED不在平面BCF内，BF在平面BCF内，

所以平面BCF，所以点E到平面BCF的距离为CD，

所以

【解析】此题考查面面平行的判定，线面垂直的判定和棱锥的体积，属于中档题.
首先根据线面平行的判定得到平面ADE和平面ADE，进而利用面面平行的判定定理得到平面平面
首先根据线面垂直的判定得到平面FBC，进而得到点E到平面BCF的距离为CD，最后利用棱锥体积公式求解即可.
 

21.【答案】解：，
，，
即
 

设，，
则，

因为
，

所以，即，
故为定值．

【解析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，属于中档题.
由可得，由向量的线性运算即可解题；
设，，由向量的线性运算可得，由此即可解题.
 

22.【答案】证明：因为，
所以，

又因为平面平面BCD，平面平面，平面BCD，

所以平面ABC，平面ABC，所以

在中，，，

所以，，

可得，则

又因为，AB，平面ABD，
所以平面

解：作法：如图，取CD的中点E，连接AE，

过B作，垂足H即要求作的点．

因为，，，BC，平面BCD，
所以平面BCD，
连接BE，则

因为，，
所以，
则

由等面积法可得，
故

【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理和性质定理的应用，空间中距离的求法，属于中档题．
证明，，即可证明平面
作法取CD的中点E，连接AE，过B作，垂足H即为要求作的点．
说明平面BCD，连接BE，则，由等面积法，结合勾股定理求解即可．