河北省唐山二中教育集团迁西县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学练习题

河北省唐山二中教育集团迁西县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学

1. 若复数z满足，则

A.  B. 1 C.  D. 2

2. 已知向量 满足则

A. 4 B. 0 C. 2 D. 3

3. 已知是虚数单位，复数的共轭复数是

A.  B.  C. 1 D.

4. 在中，，，，则B等于

A. 或 B.  C.  D. 135

5. 在正方体中，则异面直线与成角大小为

A.  B.  C.  D.

6. 若 AD与 BE分别为的边 BC， AC上的中线，且，则为

A.  B.  C.  D.

7. 已知直线l，m，平面，，，则下列条件能推出的是

A. ，， B. ，，
C. ， D. ，

8. 已知平面内一点P及，若，则点P与的位置关系是

A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段BC上
C. 点P在线段AC上 D. 点P在外部

9. 已知复数，则

A. 是纯虚数
B. 若，则的最大值是2
C. 的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点在第二象限

10. 下列命题为假命题的是

A. 若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B. 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C. 垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直

11. 下列说法正确的是

A. 若向量，则三点共线
B. 若非零向量和不共线，若和共线，则
C. 与向量垂直的单位向量可以是
D. 平面上三点的坐标分别为，，，若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点.则D的坐标可以是

12. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点．则
    
     

A. 直线与直线AF垂直
B. 直线与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等

13. 若复数是虚数单位，是纯虚数，则__________；
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，，，则角A的大小为__________
15. 如图：在三棱柱中，已知平面ABC，，当底面满足条件__________时，有
    
    
     

16. 已知中，内角的对边分别为，且，则__________.
17. 已知

求与的夹角；

求






 

18. 在中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且

求A；

若，，求






 

19. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.

问题：的内角所对的边分别为，且满足_________________.

求A；

若，且向量与共线，求的面积。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。






 

20. 如图，在四棱锥中，，且

证明：平面平面PAD；

若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积。






 

21. 如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

证明：直线平面PAD；

若面积为，求四棱锥的体积.
 

22. 如图，在长方体中，，E为CD中点．

求证：；

在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的模，是基础题.
直接进行求解即可.

【解答】

解：，
，
故选

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，是基础题
对化简代入已知求值即可

【解答】

解：，
故选

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算与共轭复数，是基础题.
对进行化简，求共轭复数即可.

【解答】

解：
共轭复数为
故选B

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，是基础题.
利用正弦定理求得，根据角的取值范围确定B，即可求解.

【解答】

解：，
，
，
，
所以，
故选

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成的角，属于基础题.
连接BD，，由于三角形为等边三角形，可得异面直线与所成角大小.

【解答】

解：连接BD，，
由于，BD，都为正方体的面对角线，
所以，
所以三角形为等边三角形，
由于，
所以直线和所成的角为，
因为，
所以异面直线与所成角大小为，
故选

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
由向量的线性运算的法则即可求解.

【解答】

解：设AD与BE交点为G，
，BE分别为的边BC，AC上的中线，则G是的重心，
则，，

故选

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线线、线面以及面面的位置关系，属于基础题．
利用空间中线线、线面以及面面的位置关系判断选项的正误即可．

【解答】

解：，，，可知或l与m是异面直线．所以A不正确；
，，，满足平面与平面平行的性质定理，所以B正确；
，，可知或l与m是异面直线．所以C不正确；
，，可知或l与m是相交直线．所以D不正确；
故选：
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
利用已知条件进行向量运算，求出，进而可得结果.

【解答】

解：，

，

即，

在线段AC上． 
故选

9.【答案】ABC
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算与复数代数形式的几何意义，复数的模的几何意义，共轭复数，是中档题.
用复数的运算判断A，复数模的几何意义判断B，共轭复数判断C，复数的几何意义判断D

【解答】

解：，
，所以A正确；
表示到距离为1的点，到原点距离最大为2，所以的最大值是2，所以B正确；
的共轭复数为，C正确；
在复平面内对应的点为，在第三象限，所以D错误；
故选ABC

10.【答案】AC
 

【解析】

【分析】

本题考查线线，线面，面面之间的位置关系，为中档题．
从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．

【解答】

解：两个平面相交时，也有无数个公共点，所以A不正确；
B.若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，B正确；
C.垂直于同一直线的两条直线可能相互平行，也可能是异面直线，C不正确；
D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直，D正确．
故选

11.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线与向量垂直的坐标表示，是中档题.
利用平面向量共线判断A，B，利用坐标运算判断CD

【解答】

解：，且有公共点P，所以M，P，Q三点共线，所以A正确；
，解得，所以B错误；
，所以C正确；
当时，，且A，B，C，D四点不共线，所以D正确.
故选ACD

12.【答案】BC
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是正方体的几何特征，属于中档题.
可结合正方体的几何特征依次进行判断即可.

【解答】

A.若，又因为，且，且AE，平面，
所以平面，而平面，

所以，所以，显然不成立，故结论错误；

B.如图所示，取的中点，连接，

由条件可知：，，
所以平面平面，

又因为平面，所以平面，故结论正确；

C.如图所示，连接，延长交于点，

因为分别为BC，的中点，所以，所以四点共面，

所以截面即为梯形，又因为，，

所以，
所以，故结论正确；

D.记点C与点到平面的距离分别为，

因为，

，

所以，故结论错误.

故选

13.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本概念，属基础题．
根据纯虚数的定义可得方程、不等式，解出即可．

【解答】

解：为纯虚数，
且，
解得
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的平方关系式及正弦定理在解三角形中的应用，还涉及了二倍角公式，由，平方可求，进而可求B，然后利用正弦定理可求，进而可求

【解答】

解：由，两边平方可得，
，即，
，，
又，，
在中，由正弦定理得：，
解得，
，

故答案为：

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要通过开放的形式来考查线线，线面垂直关系的转化与应用，属于中档题．
根据题意，由平面ABC，结合直棱柱的性质即可得答案． 

【解答】

解：平面ABC
平面ABC
，
又
四边形为正方形

若

所以
且，平面
平面
平面

，且AC，平面
平面
平面
所以

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
利用余弦和正弦定理，化简求得B的值．

【解答】

解：中，由，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
即，
所以；
又，所以，
所以，
所以；
又，
所以或
故答案为：或

17.【答案】解，

又，，
，


又，

，

 

【解析】本题考查了向量的数量积运算性质、模的计算公式、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；
利用向量的数量积运算性质即可得出．
 

18.【答案】解：由得，
，即
从而，得

，故
由题意可得，
，
由，得，

由正弦定理可得，，
解得
 

【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理，二倍角公式，属于中档题．
由已知利用两角和与差的三角函数公式变形，可得，可求得，进而可求得A；
由，可求=，代入可求，然后由正弦定理可求
 

19.【答案】解：选择①，由正弦定理，得，
，
，又，，
，又，，得，
选择②，由正弦定理，得，整理得，，
又，，，
选择③，由正弦定理，得，
，即，
又，，，
，，由正弦定理得，
由余弦定理，，得
又，，，，
所以
面积为
 

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，属于中档题.
若选①，利用正弦定理，可得，从而根据辅助角公式求出即可求解；
若选②，利用正弦定理及余弦定理，可得即可求解；
若选③，利用正弦定理，可求出，从而可得A；
由向量共线可得，结合正余弦定理可得b，c，从而可得的面积.
 

20.【答案】证明：由，

得，

由于，故，

又，AP，平面PAD，

从而平面

又平面PAB，

所以平面平面

解：如图所示，在平面PAD内作，垂足为

由知，平面PAD，

因为平面PAD，

故，

由，AD，平面ABCD，可得平面

设，则由已知可得，

故四棱锥的体积

由题设得，

故

从而，，

可得四棱锥的侧面积为

【解析】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，属于中档题.

推导出，，从而，进而平面PAD，由此能证明平面平面
设，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积．

21.【答案】证明：在平面ABCD内，因为，所以

又平面PAD，平面PAD，故平面

解：如图，取AD的中点M，连接PM，
由及，，
得四边形ABCM为正方形，则
 

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面平面，
所以，而，且CM，底面ABCD
底面
因为底面ABCD，所以

设，则，，，
取CD的中点N，连接PN，则，所以

因为的面积为，
所以，解得负值舍去

于是，，

所以四棱锥的体积

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
 

22.【答案】证明：连接，，

长方体中，，
，
在长方体中，平面，平面，
则，
，平面，平面，
平面，
又平面，
；
解：存在的中点P，使得平面
证明如下：
取的中点P，的中点Q，连接PQ，DP，QE，

则，且，
，且，
，且，
四边形PQED为平行四边形，

又平面，平面，
平面，
此时
 

【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，考查分析问题、解决问题的能力，属于拔高题.
连接，，证明平面，即可证得结论；
取的中点P，的中点Q，连接PQ，DP，QE，利用三角形的中位线的性质，可得，从而可证四边形PQED为平行四边形，进而得证，从而可证得线面平行．