人教版数学 八年级（下）第一次月考试卷（有答案）

这是一份人教版数学 八年级（下）第一次月考试卷（有答案），共27页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2021-2022八年级（下）第一次月考试卷
班级：_________姓名：_______学号:______分数:________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡对应题目正确答案所在的方框涂黑.
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2， B．1，2， C．6，8，12 D．3，4，5
4．下列原命题与逆命题都正确的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．矩形有一个内角是直角
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
5．如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DAE＝（　　）

A．100° B．80° C．60° D．40°
6．如图，▱ABCD中，AB≠AD，OE垂直平分AC交AD于E．若△CDE的周长为4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6 B．12 C．20 D．24
8．若＝2﹣x，则（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
10．生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的螺旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n个三角形的面积为（　　）

A．n B． C． D．
11．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCE＝∠ACB，CE交BO于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：
①BC＝CG；②△ABG≌△BCE；③BF＝CE；④若BC＝2，则S△BCG＝．
其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
13．
＝　 　．
14．若，则＝　 　．
15．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理（如图），若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为　 　．

16．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝　 　°．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　 　．

18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF＝1，BE＝3，连接EF，O为线段EF的中点，将四边形BCFE沿边EF翻折，使C点落在M处，使B点落在N处，连接OM，则OM的长度为 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算下列各题：
（1）﹣（π+）0+（）﹣1+|1﹣|；
（2）8．
20．如图，在四边形ABCD中，BC＝DC＝2，AD＝3，AB＝1，且∠C＝90°，求∠B的度数．

21．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？并说明理由．

22．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

24．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
解决问题：
①模仿上例的过程填空：＝　 　＝　 　＝　 　＝　 　．
②根据上述思路，试将下列各式化简．
（1）；
（2）．
25．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF+ME．

四、解答题：（本大题共一个小题，8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为，求正方形EFGH的边长．


参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A.是最简二次根式，符合题意；
B.＝＝，不是最简二次根式，不合题意；
C.＝2，不是最简二次根式，不合题意；
D.＝，不是最简二次根式，不合题意；
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：，故选项A错误；
＝，故选项B正确；
＝2﹣，故选项C错误；
＝3，故选项D错误；
故选：B．
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2， B．1，2， C．6，8，12 D．3，4，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22＝（）2，能构成直角三角形；
B、12+（）2＝22，能构成直角三角形；
C、62+82≠122，不能构成直角三角形；
D、32+42＝52，能构成直角三角形．
故选：C．
4．下列原命题与逆命题都正确的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．矩形有一个内角是直角
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
【分析】先根据矩形的判定与性质判断四个命题的真假，再结合命题的题设与结论得到四个逆命题，然后根据矩形的判定与性质判断四个逆命题的真假．
【解答】解：A、矩形的对角线相等为真命题，它的逆命题为对角线相等的四边形为矩形，此逆命题为假命题，所以A选项不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形为真命题，它的逆命题为矩形的对角线互相平分且相等，此逆命题为真命题，所以A选项符合题意；
C、矩形有一个内角是直角为真命题，它的逆命题为有一个内角为直角的四边形为矩形，此逆命题为假命题，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形为假命题，它的逆命题为矩形的对角线互相垂直且平分，此逆命题为假命题，所以D选项符合题意．
故选：B．
5．如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DAE＝（　　）

A．100° B．80° C．60° D．40°
【分析】先根据平行四边形的性质得出∠DAB的度数，再由AE平分∠DAB即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠DAB＝×80°＝40°．
故选：D．
6．如图，▱ABCD中，AB≠AD，OE垂直平分AC交AD于E．若△CDE的周长为4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为4cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为4cm，
即CD+DE+EC＝4cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×4＝8cm．
故选：C．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6 B．12 C．20 D．24
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE＝＝＝5．
∵BE＝DE＝3，AE＝CE＝5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24，
故选：D．
8．若＝2﹣x，则（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
【分析】直接利用二次根式的性质得出2﹣x是非负数进而得出答案．
【解答】解：∵＝2﹣x，
∴2﹣x≥0，
解得：x≤2．
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求∠BFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
10．生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的螺旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n个三角形的面积为（　　）

A．n B． C． D．
【分析】根据勾股定理分别求出OA1、OA2…，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：第1个三角形的面积＝×1×1＝，
由勾股定理得，OA1＝＝，
则第2个三角形的面积＝××1＝，
OA2＝＝，
则第3个三角形的面积＝××1＝，
…
则第n个三角形的面积＝，
故选：D．
11．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝4，
∴AB＝2DF＝8，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝4，
∴BF＝＝＝4．
故选：D．

12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCE＝∠ACB，CE交BO于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：
①BC＝CG；②△ABG≌△BCE；③BF＝CE；④若BC＝2，则S△BCG＝．
其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质和角平分线的性质可求∠BCE＝∠ACE＝22.5°，由余角的性质可求∠CBG＝67.5°＝∠CGB，可得BC＝CG，故①正确；由“ASA”可证△ABG≌△BCE，故②正确；由全等三角形的性质可得BG＝CE，由等腰三角形的性质可得BF＝FG＝BG＝CE，故③正确；由三角形的面积公式可求S△BCG＝，故④正确，就可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝22.5°，
∵CF⊥BF，
∴∠BFC＝∠CFG＝90°，
∴∠CBG＝67.5°＝∠CGB，
∴BC＝CG，故①正确；
∵∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝22.5°，
∴∠ABG＝∠BCG，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），故②正确；
∴BG＝CE，
∵BC＝CG，CF⊥BG，
∴BF＝FG＝BG，
∴BF＝CE，故③正确；
∵BC＝2，BO＝CO，∠BOC＝90°，
∴BC＝CG＝2，BO＝，
∴S△BCG＝，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
13．＝　（a+b）（a+2b）　．
【分析】图形的面积由三个正方形的面积加上三个长方形的面积表示出，也利用由长为a+b+b，宽为a+b的长方形的面积表示出，两者相等即可得到因式分解的结果．
【解答】解：根据题意得：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）．
故答案为：（a+b）（a+2b）
14．若，则＝　2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0且3﹣x≥0，解不等式可得x的值，进而得到y的值，然后再求出的值即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x＝3，
则y＝4，
＝＝2．
故答案为：2．
15．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理（如图），若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为　　．

【分析】根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：．

16．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝　22　°．

【分析】根据菱形的性质可求出∠DBC和∠BCA度数，再根据线段垂直平分线的性质可知∠ECB＝∠EBC，从而得出∠ECA＝∠BCA﹣∠ECB度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°．
∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°．
∵EF垂直平分BC，
∴∠ECF＝∠DBC＝34°．
∴∠ECA＝56°﹣34°＝22°．
故答案为22．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　．

【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE＝CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．

18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF＝1，BE＝3，连接EF，O为线段EF的中点，将四边形BCFE沿边EF翻折，使C点落在M处，使B点落在N处，连接OM，则OM的长度为 　　．

【分析】过点O和点E作OG⊥DC，EH⊥DC于点G和H，得到四边形BCHE是矩形，进而可得CG的长，根据三角形中位线定理可得OG的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
【解答】解：如图，过点O和点E作OG⊥DC，EH⊥DC于点G和H，
∴OG∥EH，
∵O为线段EF的中点，
∴G为线段FH的中点，
∴OG＝EH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，DC＝BC＝8，
∴四边形BCHE是矩形，
∴CH＝BE＝3，EH＝BC＝8，
∴FH＝DC﹣DF﹣CH＝8﹣1﹣3＝4，
∵G为线段FH的中点，
∴GH＝FH＝2，
∴CG＝CH+GH＝3+2＝5，
连接OC，
在Rt△COG中，OG＝EH＝4，根据勾股定理，得
OC＝＝＝．
∴OM＝OC＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．计算下列各题：
（1）﹣（π+）0+（）﹣1+|1﹣|；
（2）8．
【分析】（1）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣（π+）0+（）﹣1+|1﹣|
＝2﹣1+2+﹣1
＝3；
（2）8
＝4﹣6+2+2+1
＝3．
20．如图，在四边形ABCD中，BC＝DC＝2，AD＝3，AB＝1，且∠C＝90°，求∠B的度数．

【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理得出△ABD为直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：连接BD，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+DC2＝8．
∵BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°．
在△ABD中，∵AB2+BD2＝8+12＝9＝32＝AD2，
∴△ABD为直角三角形，
故∠ABD＝90°，
∴∠B＝∠ABD+∠DBC＝90°+45°＝135°．
21．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？并说明理由．

【分析】（1）由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AD＝BC，再由ASA证明△ADE≌△CBF即可；
（2）由平行四边形的性质得DC∥AB，则DF∥EB，再由全等三角形的性质得AE＝CF，得DF＝EB，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）解：四边形DEBF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴DF∥EB，
由（1）得：△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形．

22．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．

【分析】（1）依据平行线的性质以及矩形的性质，即可得到∠AFE＝∠AEF，进而得出AE＝AF．
（2）设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得方程，即可得到BE的长，再根据三角形面积计算公式求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，
∴S△ABE＝AB•BE＝×4×3＝6．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝OC，然后由勾股定理得OA＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝6，
∴OE＝OA＝6．
24．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
解决问题：
①模仿上例的过程填空：＝　　＝　　＝　|3+|　＝　3+　．
②根据上述思路，试将下列各式化简．
（1）；
（2）．
【分析】①根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；
②（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；
（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．
【解答】解：①，
故答案为：；
②；
（2）原式＝＝＝||＝．
25．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF+ME．

【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ACD，所以∠ACD＝∠2，根据等角对等边的性质可得CM＝DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME＝MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1＝∠G，根据等角对等边的性质可得AM＝GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF＝DF，最后结合图形GM＝GF+MF即可得证．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴MC＝MD，
∵ME⊥CD，
∴CD＝2CE，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴BC＝CD＝2；

（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF＝CF＝BC，
∴CF＝CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠G，
∴AM＝MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
由图形可知，GM＝GF+MF，
∴AM＝DF+ME．

26．如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为，求正方形EFGH的边长．

【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE＝BE，∠BEH＝∠AEF＝90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①连接EG，根据正方形的性质得到AE＝BE，∠BEA＝90°，EF＝EH，∠HEF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②如备用图，根据平行四边形的性质得到AH∥BD，AH＝BD，于是得到∠EAH＝∠AEB＝90°，根据勾股定理即可得到结论；
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AE＝BE，∠BEH＝∠AEF＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，
∵在△BEH和△AEF中，
，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH＝AF；

（2）①BH＝AF，
理由：连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE，∠BEA＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，∠HEF＝90°，
∴∠BEA+∠AEH＝∠HEF+∠AEH，
即∠BEH＝∠AEF，
在△BEH与△AEF中，，
∴△BEH≌△AEF，
∴BH＝AF；
②如备用图，∵四边形ABDH是平行四边形，
∴AH∥BD，AH＝BD，
∴∠EAH＝∠AEB＝90°，
∵四方形ABCD的边长为，
∴AE＝BE＝CE＝DE＝1，
∴EH＝＝＝，
∴正方形EFGH的边长为．