湖南省邵阳市2022届高三下学期3月二模数学试题含答案

湖南省高三联考试卷

数    学

审题单位：邵阳市教育科学研究院

郴州市教育科学研究院

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．      B．      C．       D．

2．若直线与圆相切，则

A．                B．2                    C．3                   D．

3．函数的最小值为

A．3                  B．2                    C．1                    D．0

4．“”是“”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件       C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

5．已知函数是R上的奇函数，当时，，若，e是自然对数的底数，则

A．e                  B．2e                   C．3e                   D．4e

6．我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩．在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0，4，利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936．由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为

A．0.9                B．0.8                  C．0.7D．0.6

7．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：

A．42                 B．56                   C．63                   D．70

8．设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有

A．2个                B．3个                 C．4个                 D．5个

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设复数的共复数为，则下列选项正确的有

A．                        B．

C．                                      D．

10．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且，则

A．平面EGHF                            B．平面ABC

C．平面EGHF                            D．直线GE，HF，AC交于一点

11．设函数，是的导数，则

A．                         B．有三个零点

C．，                    D．的最大值是

12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则

A．若，则

B．若，则双曲线的离心率

C．周长的最小值为8

D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，且，，则          ．

14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则          ．

15．一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三（1）班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三（1）班的2人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三（1）班至少有1人参加的作报告的方案共有          种．（用数字作答）

16．已知A，B，C，D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且，，则该三棱锥A-BCD体积的最大值为          ．

四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求B．

（2）若，，          ，求．

在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）

已知数列满足，，．

（1）求的通项公式．

（2）证明．

19．（12分）

某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试．已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系．测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，，，分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）

（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望．

20．（12分）

如图，四棱锥A-BCDE的底面为等腰梯形，，且，，平面平面ACB．

（1）证明：．

（2）若，求二面角C-AD-E的大小．

21．（12分）

已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点，且．

（1）求C的标准方程．

（2）已知l为C的准线，过F的直线交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．

22．（12分）

已知函数．

（1）若恒成立，求实数a的取值范围，

（2）若，证明．

湖南省高三联考试卷

数学参考答案

1．C

因为，，所以．

2．A

因为圆心坐标为，半径为，所以该圆心到直线的距离，解得．

3．D

因为，所以，，利用基本不等式可得

，当且仅当，且时，等号成立．

4．A

因为是定义在上的增函数，又，所以，解得．因为由可推出，而由无法推出，故“”是“”的充分不必要条件．

5．D

依题意得，，由，得，所以当时．，所以．

6．B

由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为．

7．C

设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，

由，可得，解得，两边取对数得，

则，所以，故需要的天数约为．

8．A

由，，得，，

取，可得．若在上单词递增，则，解得．若，则．因为，所以在上的零点最多有2个．

9．ACD

由题可知，A正确；

因为，所以B错误；

因为，所以C正确；

因为，故D正确．

10．AD

因为，所以．

又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则．

易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误．

因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，

所以平面ABC，平面ACD，

则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，

所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．

11．AC

的定义域是，．

因为，所以当时，，当

时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且．因为，所以，即，A正确．根据的单调性可知有两个零点，B错误，C正确．因为，，，所以的最大值是，D错误．

12．ACD

由题意知，，则，所以有，从而，，故A正确．

在中，由正弦定理得，则在，解得．又，所以，整理得，所以，解得，故B错误．

当直线PQ垂直x轴时，的最小值为，

，故C正确．

设，过点P的双曲线E的切线方程为，E的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即

，同理可得．

又因为点P在双曲线E上，则有，，故点P是AB的中点．设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以，故D正确．

13．1

因为，所以，又因为，所以，联立方程组，解得．

14．5

设焦距为2c，因为的周长为16，所以，化简得．又．所以，可得，从而．

15．3024

若高三（1）班只有1人参加，则有种不同的方案；若高三（1）班2人都参加，则有种不同方案，故共有3024种不同的方案．

16．

因为球O的表面积为，所以，解得球O的半径．

因为，，设△ABC的外接圆半径为r，圆心为，

所以，所以，所以，则D到平面ABC的距离为．

在△ABC中，，

则，

即，，

当且仅当时，等号成立，

所以△ABC面积的最大值，

所以三棱锥A-BCD体积的最大值．

17．解：

（1）由正弦定理得，．

因为，所以，

所以，即．

又，则，所以．

（2）选择条件①：因为，所以，

将答可得．

选择条件②：

因为BD为∠ABC的角平分线，所以，

则，

解得．

18．解：

（1）由，

得，，…，．

由叠加法得，

又满足，所以．

（2）证明：因为，

所以当时，

当时，成立，所以．

19．解：

（1）由题可得，所以．

队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为．

（2）X可能的取值为0，50，80，100．

，

，

，

X的分布列为

20．

（1）证明：因为平面ACD平面ACB，且平面平面，，平面ACB，

所以平面ACD．

又因为平面ACD，所以．

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，连接BD．

由已知条件，易得，，．

在△BCD中，由余弦定理可得，所以．

在△ACD中，由余弦定理得，所以．

因为，所以，，

设为平面ADE的法向量，

由，得，取，则．

又平面ACD的一个法向量为．

所以．

又面角C-AD-E为角，所以二面角CAD-E为．

21．解：

（1）设抛物线C的标准方程为，则．

将代入，可得，

所以，则，

所以抛物线C的标准方程为．

（2）证明：由（1）可知，．

设直线的方程为，

联立，则．

设，，则，．

直线AM的方程为，，令，解得；

直线BN的方程为，即，令，解得．

因为，所以直线AM，BN和l相交于一点．

22．解：

（1）因为函数的定义域为，所以恒成立等价于恒成立，所以．

令，则．

当时，，单调递增；当时，单调递减．所以，

故，即实数a的取值范围是．

（2）证明：由（1）知，即，由，，得，所以．

要证，只需证，

即证，即，

即，也就是．

整理得，即证．

令，则要证．

令，则，所以在上单调递增，所以．

所以当时，，故原结论成立，即．