数学九年级下册27.4 正多边形和圆说课课件ppt

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正多边形与圆的关系的认识正多边形的有关计算圆内接正多边形的画法.（重点、难点）
我们已经知道，各条边相等、各个角也相等的多边形是正多边形.等边三角形是正三角形，正方形是正四边形.正多边形都是轴对称图形，在日常生活和美术设计中都很常见. 你还知道那些正多边形？你知道正多边形和圆的关系吗？
知识点1 正多边形与圆的关系的认识
1. 正多边形的定义： 各条边相等、各个角也相等的多边形叫做正多边形．要点精析：“各条边相等、各个角相等”是正多边形的两个基本特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一不可，否则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都不是正多边形．
2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个 圆是同心圆．3. 圆内接正n边形：把圆分成n(n＞2)等份，依次连结各 分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形，而 这 个圆是正 n 边形的外接圆．拓展：(1)把圆分成n(n＞2)等份，经过各分点作圆的切 线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外 切正n边形，而这个圆是这个正n边形的内切圆．
4. 与正多边形有关的概念：(1)正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为 正多边形的中心．(2)正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．(4)正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等， 叫做正多边形的中心角．
5. 边心距与弦心距的关系： 边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心 距也可以看成正多边形的外接圆中，圆心到多边形 的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距； 但弦心距不一定是边心距．
下列说法不正确的是(　　)A．等边三角形是正多边形B．各边相等，各角相等的多边形是正多边形C．菱形不一定是正多边形D．各角相等的多边形是正多边形
等边三角形是正三角形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；各边相等，各角相等的多边形是正多边形，故D不对．
如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到 ，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 ，圆周角∠B对 ，∴ .∴ ，即 .∴BC＝AE. 同理可证其余各边都相等．∴五边形ABCDE是正五边形．
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等,利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．其证明思路如下：角相等⇒弧相等⇒弦相等⇒ ⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形,证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连结各等分点，所得多边形即为正多边形.
知识点2 正多边形的有关计算
已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是正几边形？
由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n边形的内角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求边数．
方法一：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，∴此正多边形内角和为150°n＝(n－2)·180°，解得n＝12.∴此多边形为正十二边形．方法二：∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也相等，∴每个外角为180°－150°＝30°.又∵多边形的外角和是360°，∴360°÷30°＝12，即此多边形为正十二边形．
知识点3 正多边形的作图
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周.
作法一：(1)作半径为0.9 cm的⊙O；(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角 形，如图所示．
作法二：(1)作半径为0.9 cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交 ⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA. 则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD内接于⊙O.
作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是90°，所以AB=BC= CD=DA.因为AC，BD都是直径，所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两点；(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都对 D．两人都不对
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36°C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcs 36°
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
如图所示．(答案不唯一)