2021学年第11章 反比例函数综合与测试练习

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题11.7反比例函数与几何综合大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共30小题）
1．（2021春•苏州期中）如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y=1x（x＞0）的图象在第一象限交于M，N两点，P是MN上一个动点（点P不与点M，N重合），过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，垂足为A，B，交反比例函数于点D，点C．
（1）当AP＝3AO时，求点D的坐标；
（2）连接AB，CD，若D是AP的中点，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（3）点P在运动过程中，AB是否具有最小值，若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）当AP＝3AO时，即m＝3（﹣m+4），求出点A的坐标为（0，1），进而求解；
（2）求出直线AB、CD的表达式，即可求解；
（3）由题意得，四边形OAPB为矩形，则AB＝OP=m2+(−m+4)2=2m2−8m+16=2(m−2)2+8≥22，即可求解．
【解析】设点P的坐标为（m，﹣m+4），则点A、B的坐标分别为（0，﹣m+4）、（m，0）．
（1）当AP＝3AO时，即m＝3（﹣m+4），
解得m＝3，
故点A的坐标为（0，1），
当y＝1时，即1=1x，
解得x＝1，
故点D的坐标为（1，1）；

（2）∵D是AP的中点，故点D的坐标为（12m，﹣m+4），
将点D的坐标代入反比例函数表达式并整理得：4﹣m=2m，
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则−m+4=b0=mk+b，解得k=−m+4−m=−2m2b=−m+4，
即直线AB表达式中的k值为−2m2；
同理可得，直线CD表达式中的k值为−2m2，
故直线AB∥CD；

（3）有，理由：
由题意得，四边形OAPB为矩形，
则AB＝OP=m2+(−m+4)2=2m2−8m+16=2(m−2)2+8≥22，
故AB有最小值为22．
2．（2021•亭湖区一模）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=12S菱形OACD，求点P的坐标．

【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（a，a+1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【解析】（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（﹣1，﹣2），
∴OE＝1，DE＝2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入直线y＝mx+1，
得：﹣m+1＝2，
解得：m＝﹣1，
将A（﹣1，2）代入反比例函数y=kx，
得：2=k−1，
解得：k＝﹣2；
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；反比例函数的解析式为y=−2x；
（2）∵当x＝﹣1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
∴x的取值范围为：x＞0或x＜﹣1；
（3）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD=12OC•AD＝4，
∵S△OAP=12S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（m，﹣m+1），AB与y轴相交于点F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF=12×1×1=12，
当P在A的左侧时，S△OAP＝S△OFP﹣S△OAF=12（﹣m）•OF−12=−12m−12，
∴−12m−12=2，
∴m＝﹣5，﹣m+1＝5+1＝6，
∴P（﹣5，6），
当P在A的右侧时，S△OAP＝S△OFP+S△OAF=12m•OF+12=12m+12，
∴12m+12=2，
∴m＝3，﹣m+1＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，6）或（3，﹣2）．

3．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），则AD＝2﹣（﹣1）＝3，由AD＝3CD得CD＝1，进而求解．
【解析】（1）把A（1，2）代入y2=kx中得k＝2，
∴反比例函数的表达式为y2=2x，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2）和B（﹣2，﹣1）代入一次函数y1＝ax+b得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的表达式为y1＝x+1；

（2）从图象可以看出，y1＞y2时x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1；

（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），
则AD＝2﹣（﹣1）＝3，
由AD＝3CD得CD＝1，
故点C（0，﹣1）或（2，﹣1）．
4．（2020秋•舞钢市期末）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与正比例函数y=34x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；
（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，
①求△ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．

【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求k的值；
（2）①联立方程组可求点A，点B坐标，由直角三角形的性质可求OB＝OA＝OC＝5，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【解析】（1）当x＝2时，y=34×2=32，
∴点A坐标为（2，32），
∵点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴k＝2×32=3，
（2）①∵k＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x，
联立方程组可得：y=12xy=34x，
解得：x1=4y1=3或x2=−4y2=−3，
∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），
∴AO＝BO＝5，
又∵∠ACB＝90°，
∴CO＝AO＝BO＝5，
∴点C（0，5），
∴△ACB的面积=12×5×4+12×5×4＝20；
②设点D坐标为（x，y），
若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，
∴AB与CD互相平分，
∴5+y2=−3+32，−4+42=x+02，
∴x＝0，y＝﹣5，
∴点D（0，﹣5）；
若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴4+02=−4+x2，5+32=−3+y2，
∴x＝8，y＝11，
∴点D（8，11）；
若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，
∴BC与AD互相平分，
∴−4+02=x+42，−3+52=3+y2，
∴x＝﹣8，y＝﹣1，
∴点D（﹣8，﹣1），
综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．
5．（2021•千山区一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A的坐标代入y=mx（m≠0）得：m＝﹣2×3＝﹣6，则反比例函数的表达式为：y=−6x，将点B的坐标代入上式并解得：n=−32，故点B（4，−32），即可求解；
（2）分∠APC为直角、∠P（P′）AC为直角两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A的坐标代入y=mx（m≠0）得：m＝﹣2×3＝﹣6，
则反比例函数的表达式为：y=−6x，
将点B的坐标代入上式并解得：n=−32，故点B（4，−32），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：−2k+b=34k+b=−32，解得：k=−34b=32，
故一次函数的表达式为：y=−34x+32；

（2）y=−34x+32，令y＝0，则x＝2，故点C（2，0），
①当∠APC为直角时，

则点P（﹣2，0）；
②当∠P（P′）AC为直角时，
由点A、C的坐标知，PC＝4，AP＝3，则AC＝5，
cos∠ACP=PCAC=45=ACCP'=5CP'，解得：CP′=254，
则OP′=254−2=174，
故点P的坐标为：（﹣2，0）或（−174，0）．
6．（2021•武进区模拟）如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数y=1x(x＞0)的图象于点A，交函数y=4x(x＞0)的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y=1x(x＞0)于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（2，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t值的变化而变化？

【分析】（1）根据点P的坐标和函数的解析式可以分别求得点A、B、C的坐标，进一步求得三角形的面积；
（2）根据（1）中的方法进行求解，看最后的结果是否为一个定值即可．
【解析】（1）根据题意，得点A、B的横坐标和点P的横坐标相等，即为2．
∵点A在函数y=1x(x＞0)的双曲线上，
∴A点纵坐标是12，
∵点B在函数y=4x(x＞0)的图象上
∴B点的纵坐标是2．
∴点C的纵坐标是2，
∵点C在函数y=1x(x＞0)的双曲线上
∴C点横坐标是12．
∴AB=32，BC=32
∴△ABC的面积是：12×32×32=98．

（2）根据（1）中的思路，可以分别求得点A（t，1t），B（t，4t），C（t4，4t）．
∴AB=3t，BC=34t，
∴△ABC的面积是98．
∴△ABC的面积不会随着t的变化而变化．
7．（2020•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“湘一等腰三角形”，右图为点P，Q的“湘一等腰三角形”的示意图．
（1）已知点A的坐标为（﹣23，0），点B的坐标为（0，2），求点A，B的湘一等腰三角形”顶角的度数；
（2）若点C的坐标为（0，−3），点D在直线y＝23上，且C，D的“湘一等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；
（3）已知⊙O的半径为22，点N在双曲线y=−5x上．若在⊙O上存在一点M，使得点M，N的“湘一等腰三角形”为直角三角形，求出点N的横坐标xN的取值范围．

【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；
（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；
（3）因为点M、N的“湘一等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，

∵B的坐标为（0，2），点A的坐标为（﹣23，0），
∴点A，B的“湘一等腰三角形”△ABC的当C（23，0）或（﹣43，2），
∵tan∠BAO=OBOA=33，
∴∠BAO＝∠BCO＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC′＝120°，
故答案为120．

（2）如图2中，设直线y＝23交y轴于F（0，23），

∵C（0，−3），
∴CF＝33，
∵且C，D的“湘一等腰三角形”为等边三角形，
∴∠CDF＝∠CD′F＝60°，
∴DF＝FD′＝33•tan30°＝3，
∴D（3，23），D′（﹣3，23），
∴直线CD的解析式为y=3x−3或y=−3x−3．

（3）如图3中，

∵点M、N的“湘一等腰三角形”为直角三角形，
∴直线MN与x轴的夹角为45°，
可以假设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，
当直线与⊙O相切于点M时，易知b＝±4，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4，
由y=−x+4y=−5x，解得x=5y=−1或x=−1y=5，
∴N（﹣1，5），N′（5，﹣1），
由y=−x−4y=−5x解得x=1y=−5或x=−5y=1，
∴N1（﹣5，1），N2（1，﹣5），
观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣5≤xN≤﹣1或1≤xN≤5．
8．（2020•天宁区校级一模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB=152．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜mx的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
（4）已知点D（0，6），连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．

【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）构建方程组求出直线与反比例函数的两个交点坐标即可判断．
（3）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
（4）作线段BD的中垂线EF交BD于G，连接OG，AG，OA，作GH∥OA交AD于H，作直线OH，直线OH即为所求的直线l．
【解析】（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB=152，
∴12×5×AD=152，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD=AB2−AD2=4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y=27x，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，9k+b=35k+b=0，
∴k=34b=−154，
∴直线AB的解析式为y=34x−154；

（2）由y=34x−154y=27x
解得x=9y=3或x=−4y=−274，
∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，−274），
结合图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＜mx的解集为0＜x＜9．

（3）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，
∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2，
∴a=658，
∴P（658，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）．

（4）如图3中，直线l即为所求．

由题意直线OA的解析式为y=13x，直线BD的解析式为y=−65x+6，直线AD的解析式为y=−13x+6，
可得G（52，3），
∵GH∥OA，
∴直线GH的解析式为y=13x+136，
由y=13x+136y=−13x+6，解得x=234y=4912，
∴H（234，4912），
∴直线l的解析式为y=4969x．


9．（2020春•泰兴市校级期中）已知：反比例函数y=mx的图象过点A（x1，﹣1−12m），B（x2，5−4m）且x1+x2＝0．
（1）求m的值；
（2）点C在x轴上，且S△ABC＝16，求C点的坐标；
（3）点Q是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的右侧，设直线QA，QB与y轴分别交于点D、E，试判断DE的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度．
【分析】（1）由x1+x2＝0，可得y1+y2＝0，即可求解；
（2）先求出点A，点B坐标，求出直线AB的解析式，可求直线AB与x轴交点坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）设点Q（a，4a），先求出点D，点E坐标，即可求DE的长．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象过点A（x1，﹣1−12m），B（x2，5−4m）
∴﹣1−12m=mx1，5−4m=mx2，
∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴mx1+mx2=0，
∴﹣1−12m+5−4m=0，
∴m＝4；
（2）∵m＝4，
∴反比例函数解析式为：y=4x，点A（x1，﹣4），点B（x2，4），
∴点A（﹣1，﹣4），点B（1，4），
∴直线AB解析式为：y＝4x，
∴直线AB与x轴的交点为O（0，0），
如图所示，

设点C（x，0），
∵S△ABC＝16，
∴12×4×|x﹣0|×2＝16，
∴x＝±4，
∴点C的坐标（4，0）或（﹣4，0）；
（3）DE的长度不变，
理由如下：
如图2，

设点Q（a，4a）（a＞0），
∵点Q（a，4a），点B（1，4），
∴直线BQ解析式为：y=−4ax+4+4a，
当x＝0时，y＝4+4a，
∴点E（0，4+4a），
∵点Q（a，4a），点A（﹣1，﹣4），
∴直线AQ解析式为：y=4ax+4a−4，
当x＝0时，y=4a−4，
∴点D（0，4a−4），
∴DE＝4+4a−（4a−4）＝8，
∴DE的长度不变，DE＝8．
10．（2020春•相城区期中）阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．
根据以上结论，解决以下问题：
（1）拓展：若a＞0，当且仅当a＝　1　时，a+1a有最小值，最小值为　2　；
（2）应用：
①如图1，已知点P为双曲线y=4x（x＞0）上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值；
②如图2，已知点Q是双曲线y=8x（x＞0）上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

【分析】（1）由题意得：a+1a≥2a⋅1a=2，此时a=1a，即可求解；
（2）四边形OAPB的周长＝2PB+2AP＝2（x+4x）≥2（2x⋅4x）＝8，此时x=4x，解得x＝±2（舍去负值），则点P（2，2），即可求解；
（3）先求出点P的坐标，再分PQ是边、PQ是对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可求解．
【解析】（1）由题意得：a+1a≥2a⋅1a=2，
故a+1a有最小值为2；
此时a=1a，解得a＝±1（舍去负值），
故答案为1，2；

（2）设点P（x，4x），
则四边形OAPB的周长＝2PB+2AP＝2（x+4x）≥2（2x⋅4x）＝8，
此时x=4x，解得x＝±2（舍去负值），则点P（2，2），
故答案为：P（2，2），周长最小8；

（3）设点P（x，4x），
则由题意得：OP2＝x2+（4x）2≥2x⋅4x=8，
当OP最小时，x=4x，解得x＝±2（舍去负值），故点P（2，2），
当y＝2时，y=8x=2，解得x＝4，即点Q（4，2），
则PQ＝4﹣2＝2，
①当PQ是边时，
∵PQ∥x轴，
∴四边形OPQC为平行四边形时，点C在x轴上，
即OC＝PQ＝2，则点C（2，0）或（﹣2，0）；
②当PQ是对角线时，
设点C的坐标为（x，y），
由中点的性质得：12（2+4）=12（x+0）且12（2+2）=12（0+y），
解得x=6y=4，故点C（6，4）．
故答案为：（﹣2，0）、（2，0）或（6，4）．
11．（2020春•泰兴市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b），其中a＜b，与坐标轴的交点分别为C，D，AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求a+b的值；
（2）求直线l的函数表达式；
（3）若AD＝OD，求k的值；
（4）若P为x轴上一点，BP∥OA，若a，b均为整数，求点P的坐标．

【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式，得a、b的等式，再通过因式分解，解方程便可求得a+b的值；
（2）用待定系数进行解答便可；
（3）先求出直线l与x轴的交点D的坐标，再根据两点距离公式，由AD＝OD列出a的方程求得A点坐标，便可求得k的值；
（4）根据a+b＝6，0＜a＜b，a，b为整数求得A、B点坐标，再求出OA，BP的解析式，便可求得P点坐标．
【解析】（1）∵直线l与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b），
∴k＝a（6﹣a）＝b（6﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣6）＝0，
∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴a+b﹣6＝0，
∴a+b＝6；
（2）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），把A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b）代入得，
am+n=6−abm+n=6−b，
解得，m=−1n=6，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+6；
（3）令y＝0，y＝﹣x+6＝0，得x＝6，
∴D（6，0），
∵A（a，6﹣a），AD＝OD，
∴（a﹣6）2+（6﹣a）2＝62，
解得，a＝6+32，或a＝6﹣32，
当a＝6+32时，6﹣a＝﹣32＜0（不合题意，应舍去），
∴A（6﹣32，32），
把A（6﹣32，32）代入y=kx中，得
k＝（6﹣32）×32=182−18；
（4）∵a+b＝6，且0＜a＜b，a，b均为整数，
∴a＝1，b＝5，或a＝2，b＝4，
∴A（1，5），B（5，1）或a（2，4），B（4，2），
当A（1，5），B（5，1）时，则直线OA的解析式为：y＝5x，
∵OA∥BP，
∴设BP的解析式为y＝5x+t，
将B（5，1）代入得1＝25+t，则t＝﹣24，
∴BP的解析式为：y＝5x﹣24，
令y＝0，得y＝5x﹣24＝0，解得x=245，
此时点P的坐标为（245，0）；
当A（2，4），B（4，2）时，则直线OA的解析式为：y＝2x，
∵OA∥BP，
∴设BP的解析式为y＝2x+t′，
将B（4，2）代入得2＝8+t′，则t′＝﹣6，
∴BP的解析式为：y＝2x﹣6，
令y＝0，得y＝2x﹣6＝0，解得x＝3，
此时点P的坐标为（3，0）；
综上，P点的坐标为（3，0）或（245，0）．
12．（2020春•丰县期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（m＞0），根据S△PCO=38S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小；
（3）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y=kx（k≠0）的第一象限内的图象上
∴k＝12，
∴y=12x，
设点P的横坐标为m（m＞0），
∵S△PCO=38S矩形OABC．
∴12•OC•m=38OA•OC，
∴m＝3，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y=123=4，
∴点P的坐标为（3，4）；
（2）过点（3，0），作直线l⊥x轴．

由（1）知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，
则PO+PC的最小值＝PO′+PC＝O′C=32+62=35．
（3）分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝4，P1（3，3−7），P2（3，3+7），
∴Q1（7，3−7），Q2（7，3+7）；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（3，3−15），P4（3，3+15），
∴Q3（﹣1，3−15），Q4（﹣1，3+15）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（7，3−7），Q2（7，3+7），Q3（﹣1，3−15），Q4（﹣1，3+15）．
13．（2020春•邗江区期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
（1）D点坐标为　（4，3）　，k＝　12　．
（2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？
②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为y＝k1x，根据图象直接写出不等式k1x＜kx的x的取值范围；
（3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．

【分析】（1）根据题意确定点D的坐标即可解决问题．
（2）①根据平行四边形是中心对称图形，反比例函数也是中心对称图形解决问题即可．
②利用图象法解决问题即可．
（3）根据菱形的性质求出直线PQ的解析式，利用方程组确定解得P，Q坐标即可．
【解析】∵AD∥x轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），
∴D（4，3），
∵点D在双曲线上，
∴k＝4×3＝12，
故答案为（4，3），12；

（2）①平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且原点是对角线AC的中点，
∴点B于点D关于原点对称，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝﹣4时，y=12−4=−3，
∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图形上．

②∵B（﹣4，﹣3），D（4，3），
∴由图象知，0＜x＜4或x＜﹣4．

（3）存在，

理由：如图，∵四边形AQCP是菱形，
∴AC⊥PQ，
∴直线PQ为第一、三象限的角平分线，
∴直线PQ的解析式为y＝x，
由y=xy=12x
可得x=23y=23或x=−23y=−23，
∴P（23，23），Q（﹣23，﹣23）或P（﹣23，﹣23），Q（23，23）．
14．（2020春•溧阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＜0）的图象经过点（﹣6，1），直线y＝mx+m与y轴交于点（0，﹣2）．
（1）求k，m的值；
（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx+m于点A，交函数y=kx（x＜0）的图象于点B．
①当n＝﹣1时，判断线段PA与PB的数量关系，并说明理由；
②若PB≥2PA，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，利用点（0，﹣2）可求出m的值；
（2）①代入n＝﹣1可得出点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，结合点P的坐标可得出PA＝1，PB＝2，进而可得出PB＝2PA；
②同①可得出当n＝﹣1或n＝﹣3时PB＝2PA，结合点P在第二象限及函数图象，可得出：当PB≥2PA时，﹣1≤n＜0或n≤﹣3．
【解析】（1）∵函数y=kx（x＜0）图象经过点（﹣6，1），
∴k＝﹣6×1＝﹣6，
∵直线y＝mx+m与y轴交于点（0，﹣2），
∴m＝﹣2；
（2）①PB＝2PA，理由如下：
当n＝﹣1时，点P坐标为（﹣1，2），
∴点A坐标为（﹣2，2），点B坐标为（﹣3，2），
∴PA＝1，PB＝2，
∴PB＝2PA；
②∵点P坐标为（n，﹣2n），PA平行于x轴，
把y＝﹣2n分别代入y=kx（x＜0）和y＝﹣2x﹣2得，
点B坐标为（3n，﹣2n），点A坐标为（n﹣1，﹣2n），
∴PA＝n﹣（n﹣1）＝1，PB＝|n−3n|，
当PB＝2PA时，则|n−3n|＝2，
如图1，当n−3n=2，解得n1＝﹣1，n2＝3（不合题意，舍去），

如图2，当3n−n＝2解得n1＝﹣3，n2＝1（不合题意，舍去），

∴PB≥2PA时，n≤﹣3或﹣1≤n＜0．
15．（2020•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝　﹣4　，k＝　−12　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
【解析】（1）把A（n，2）代入反比例函数y=−8x中，得n＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k=−12，
故答案为：﹣4；−12；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，

∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴CDBE=ADCE，即b−24=4b+2，
解得，b＝25，或b＝﹣25（舍），
∴C（0，25）；
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
∴AB=64+16=45，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC=12AB=25，
∴C(0，25）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴OP1=OP2=OA=42+22=25，
∴P1（﹣25，0），P2（25，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP1BP2为矩形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣25或m＞25．

另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°，
则OP1=OP2=12AB=25，
∴P1(−25，0)，P2(25，0)，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣25或m＞25．
16．（2020春•吴中区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）在第一象限交于点A、B，且该直线与x轴正半轴交于点C，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若CD＝4CE．求k，b的值；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线AB上的动点，则OM长度的最小值为　522　．

【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）先证明△AEC∽△BDC，则相似比求得BD，进而求得B点坐标，再用待定系数法便可求得结果；
（3）当OM⊥AB时，OM的长度最小，先求出直线y═kx+b的解析式，再求得直线与坐标轴的交点坐标，进而根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得结果便可．
【解析】（1）把A（4，1）代入双曲线y=mx中，得m＝4，
∴双曲线的表达式为y=4x；
（2）∵AE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△ACE∽△BCD，
∴AEBD=CECD，
∵CD＝4CE，AE＝1，
∴BD＝4，
把y＝4代入y=4x中得，x＝1，
∴B（1，4），
把A（4，1）和B（1，4）代入直线y＝kx+b（k≠0）中，得
4k+b=1k+b=4，
解得，k=−1b=5；
（3）由（2）知，直线AB的解析式是y＝﹣x+5，
令x＝0，得y＝﹣x+5＝5，
∴F（0，5），
∴OF＝5，
令y＝0，得y＝﹣x+5═0，
解得，x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
∴OC＝OF，CF＝52，
当OM⊥AB于点M时，OM的值最小，
此时，CM＝FM，
∵∠COF＝90°，
∴OM=12CF=522．

故答案为：522．
17．（2020春•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标　（﹣1，﹣3）　；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，证明△ADF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和D′点的坐标，再根据“B'、D'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和D′点的的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；
（3）分各种情况：BD为平行四边形的边，BD为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【解析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，则∠AFD＝∠AEB＝90°，
∵点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），
∴DF＝3，AF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF＝AE＝3，AF＝BE＝1，
∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，
∴B（﹣1，﹣3），
故答案为（﹣1，﹣3）；

（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），D′（﹣3，﹣7+2t），
设经过B'、D'的反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），
解得，t=92，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y=−6x；
（3）设P（n，0），
由（2）知B′（﹣1，6），D′（﹣3，2），
①当B'D'为平行四边形的边时，则B′D′∥QP，B′D′＝QP，
∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），
把Q（n+2，4）代入y=−6x中，得，4（n+2）＝﹣6，
解得，n=−72，
∴Q（−32，4），
把Q（n﹣2，﹣4），代入y=−6x中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，
解得，n=72，
∴Q（32，﹣4）；
②当B'D'为对角线时，则B'D'的中点坐标为（﹣2，4），
∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），
∴Q（﹣4﹣n，8），
把Q点坐标代入y=−6x中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，
解得，n=−134，
∴Q（−34，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（−32，4）或（32，﹣4）或（−34，8）．
18．（2020春•泰州期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=4x的图象上．
（1）求点P的坐标；
（2）若OA＝OB，则：
①∠P的度数为　22.5°　；
②求出此时直线AB的函数关系式；
（3）如果直线AB的关系式为y＝kx+n，且0＜n＜2，作反比例函数y=−nx，过点（0，1）作x轴的平行线与y=4x的图象交于点M，与y=−nx的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx+n的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC＝PD，再根据反比例函数的解析求得P点坐标；
（2）①由等三角形的外角定理求得∠BAD的度数，再由角平分线求得∠PAD和∠POA的度数，进而由三角形外角定理求得结果；
②过P作PD⊥y轴于点D，由角平分线得PH＝PD，进而求得OH，OA，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得AB的解析式；
（3）由已知点P的坐标，根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN+NQ的解析式，根据解析式的特点进行解答便可．
【解析】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1，

∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，
∴PC＝PE＝PD，
设PC＝a，则P（a，a），
把P（a，a）代入y=4x中得，a2＝4，
∴a=4=2，
∴P（2，2）；
（2）①∵OA＝OB，∠A0B＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAD＝135°，
∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，
∴∠PAD＝67.5°，∠POA＝45°，
∴∠APO＝∠PAD﹣∠POA＝22.5°，
故答案为：22.5°；
②解：过P作PD⊥y轴于点D，如图2，
∵OA＝OB，OP平分∠AOB，
∴OP⊥AB，
∵AP平分∠BAD，
∴PH＝PD，
由（1）知P（2，2），
∴PH＝PD＝OD＝2，OP＝22，
∴OH＝22−2，
∴OB＝OA=2OH=4﹣22，
∴A（0，4﹣22），B（4﹣22，0），
设直线AB的解析式为：y＝mx+n（m≠0），则
n=4−22(4−22)m+n=0，
解得，m=−1n=4−22，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4﹣22；

（3）把y＝1代入y=4x中，得x＝4，
∴M（4，1），
把y＝1代入y=−nx中，得x＝﹣n，
∴N（﹣n，1）．
把x＝﹣n代入 y＝kx+n 中，得y＝﹣kn+n，
∴Q（﹣n，﹣kn+n），
∴MN+QN＝（4+n）+|﹣kn+n﹣1|，
当MN+QN＝4+n﹣mn+n﹣1＝﹣kn+2n+3＝（﹣k+2）n+3时，
∵0＜n＜2，
∴当k＝2时，MN+QN为定值，定值d＝3．（∵k＜0，不合题意，舍去）；
当MN+QN＝4+n+kx﹣n+1＝kn+5时，
∵0＜n＜2，
∴当k＝0时，MN+QN为定值，定值d＝5．（∵k＜0，不合题意，舍去）；
综上，不论k为何值时，MN+NQ都不能为定值．
故不存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，
19．（2020春•东海县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，4）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y=kx（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y=kx的另一个交点，
（1）点D的坐标为　（6，2）　，点E的坐标为　（3，4）　；
（2）动点P在第一象限内，且满足S△PBO=89S△ODE．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②连接PO、PE，当PO﹣PE的值最大时，求点P的坐标；
③若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【分析】（1）先求得C（6，4），再根据中点坐标公式可得点D的坐标为（6，2），根据待定系数法可求双曲线y=kx的解析式，把y＝4代入双曲线y=kx的解析式，即可求得点E的坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则S△PBO=12BO•m＝2m，根据S△ODE＝S梯形EOAC﹣S△CDE﹣S△ODA，求出S△ODE，再根据S△PBO=89S△ODE，得到关于m的方程，解方程求出m，进一步求出点P的坐标；
②由①知，满足S△PBO=89S△ODE这一条件的点P在横坐标为4的直线上，当O，P，E三点共线时，PO﹣PE的值最大，根据待定系数法可求OE的解析式，进一步求得点P的坐标；
③根据两点间的距离公式和菱形的性质即可求解．
【解析】（1）∵在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，4）是矩形OACB的两个顶点，
∴C（6，4），
∵D是AC的中点，
∴点D的坐标为（6，2），
依题意有2=k6，
解得k＝12．
故双曲线y=12x，
当y＝4时，4=12x，
解得x＝3．
故点E的坐标为 （3，4）；
（2）①设点P的横坐标为m，则
S△PBO=12BO•m＝2m，
∵S△ODE＝S梯形EOAC﹣S△CDE﹣S△ODA=12×（3+6）×4−12×3×2−12×6×2＝9，
又∵S△PBO=89S△ODE，
∴S△PBO＝8，
∴2m＝8，
解得m＝4，
∵点P在双曲线y=12x上，
∴P的坐标为（4，3）；
②由①知，满足S△PBO=89S△ODE这一条件的点P在横坐标为4的直线上，即点P在直线x＝4上，
当O，P，E三点共线时，PO﹣PE的值最大，
设OE的解析式为y＝k1x，
∵过点E（3，4），
∴4＝3k1，
解得k1=43．
∴OE的解析式为y=43x，
当x＝4时，y=163．
∴P的坐标为（4，163）；
③设P点坐标为（4，p）时，
依题意有（4﹣6）2+（p﹣4）2＝42，
解得p＝4±23，
4±23−4＝±23，
则Q1（4，23），Q2（4，﹣23）；
依题意有（4﹣6）2+（p﹣0）2＝42，
解得p＝±23（负值舍去），
Q点纵坐标为23+4，
Q3（4，4+23）；
当P点坐标为（4，2）时，Q4（8，2）．
综上所述，Q1（4，23），Q2（4，﹣23），Q3（4，4+23），Q4（8，2）．

20．（2020春•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形OAB的顶点A在反比例函数y=kx的图象上．若OA＝AB＝5，点B的坐标为（6，0）．
（1）如图1，求反比例函数y=kx的表达式．
（2）如图2，把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′，设A'B'的中点为M．
①求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
②当反比例函数y=kx的图象经过点M时，求a的值．
【分析】（1）OA＝AB＝5，OB＝6，则AC=52−32=4，故点A的坐标是（3，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）①M是AB的中点，MN∥A′C′，则MN=12A'C'=12AC＝2，B'N＝C'N=12B'C'=32，故ON=OO'+O'N=a+3+32=a+92，即可求解；
②将点M的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
【解析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，

∵OA＝AB＝5，OB＝6，
∴AC=52−32=4，
∴点A的坐标是（3，4），
∴4=k3，
解得：k＝12，
故反比例函数的表达式为y=12x；

（2）①过点A′，M分别作A′C′⊥O′B′于点C′，MN⊥O′B′于点N，

∵M是A'B'的中点，MN∥A′C′，
∴MN=12A'C'=12AC＝2，B'N＝C'N=12B'C'=32，
∴ON=OO'+O'N=a+3+32=a+92，
故点M的坐标为(a+92，2)；

②由题设，12a+92=2，
解得：a=32．
21．（2020春•兴化市期末）如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与BC边相交于点M（点M不与点B、C重合），与AB边相交于点N，CMCB=i．
（1）若点B的坐标为（4，2），i＝0.5，求k的值和点N的坐标；
（2）连接OB，过M作MQ⊥OB，垂足为Q；
①如图2．当k＝1，i=13时，设OB长为p，MQ长为q，求p与q的函数关系式；
②如图3，连接NQ，记四边形OANQ，△NQB，△QBM，四边形MCOQ的面积分别为S1、S2、S3、S4．判断S1+S3与S2+S4的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）CM＝m，BC=CMi=3m，BM＝2m，CO=1m，而S△OMB=12×CO•BM=12OB×MQ，即pq＝2m×1m=2，即可求解；
（3）证明S△OBM＝S△OBN，即12×OB•MQ=12OB•ND，而四边形OABC是矩形，则OC＝AB，AO＝BC，∠OCB＝∠OAB＝90°，则S1+S2＝S3+S4，即可求解．
【解析】（1）∵点B的坐标为（4，2）
∴CM＝i•BC＝0.5×4＝2
∴M的坐标为（2，2）
把点M（2，2）的坐标代入y=kx得：2=k2，解得：k＝4，即y=4x．
当x＝4时，y=44=1，
∴点N的坐标为（4，1）；

（2）连接OM，设点M的坐标为（m，1m），

则CM＝m，BC=CMi=3m，BM＝2m，CO=1m，
∵S△OMB=12×CO•BM=12OB×MQ，
∴pq＝2m×1m=2，
故p=2q；

（3）连接OM、ON，作ND⊥OB于点D，

设点M的坐标为（m，km），则点B的坐标为（mi，km）．
∴MB=mi−m=m(1−i)i，OC=km，
∴S△OBM=m(1−i)i−km2=k−ki2i，
把x=mi代入y=km得y=kim，即点N的坐标为（mi，kim），
∴BN=km−kim=k−kim，AO=mi，
∴S△OBN=k−kim−mi2=k−ki2i，
∴S△OBM＝S△OBN，即12×OB•MQ=12OB•ND，
∴MQ＝ND，
∴S2＝S3，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，AO＝BC，∠OCB＝∠OAB＝90°，
∴S1+S2＝S3+S4，
∴S1+S3＝S2+S4．
22．（2020春•姜堰区期末）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx交于A（1，t+2），B（﹣2t，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）点C（x1，y1）和D（x2，y2）是反比例函数y=mx图象上任意两点，
①若x1＜x2＜0，p=y1+y28，q=2x1+x2，试判断p、q的大小关系，并说明理由；
②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2＝﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求解求解；
（2）①p=18（y1+y2）=18（4x1+4x2）=x1+x22x1x2，q=2x1+x2，p﹣q=x1+x22x1x2−2x1+x2=(x1−x2)22x1x2(x1+x2)，由x1＜x2＜0，即可求解；
②先证明四边形CEFD为平行四边形，又CE⊥AB，则四边形CEFD为矩形．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：1×（t+2）＝﹣1×（﹣2t），解得：t＝2，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（﹣4，﹣1），
故反比例函数表达式为：y=4x；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝1，b＝3，
故一次函数的表达式为：y＝x+3；

（2）①p＜q，理由：
设反比例函数过点C（x1，y1）、D（x2，y2），
则y1=4x1，y2=4x2，
p=18（y1+y2）=18（4x1+4x2）=x1+x22x1x2，
q=2x1+x2，
p﹣q=x1+x22x1x2−2x1+x2=(x1−x2)22x1x2(x1+x2)，
∵x1＜x2＜0，
∴x1x2＞0，x1+x2＜0，
∴p﹣q＜0，
故p＜q；
②由题意知，点C、D的坐标分别为（x1，4x1）、（x2，4x2），
设直线CD的表达式为：y＝ax+b，
将点C、D的坐标代入上式得ax1+b=4x1ax2+b=4x2，解得：a=−4x1x2，
∵x1x2＝﹣4＝﹣4a，解得：a＝1，
∵a＝k＝1，
∴CD∥AB，
又∵CE∥DF，
∴四边形CEFD为平行四边形，
又∵CE⊥AB，
∴四边形CEFD为矩形．
23．（2020•连云港一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（7，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；
（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
【解析】（1）作DE⊥BO于E，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（7，3），
∴DO＝AD＝4，
∴A点坐标为：（7，7），
∴k＝77；
（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上D′，
∴DF＝D′F′＝3，
∴D′点的纵坐标为3，设点D′（x，3），
∴3=77x，解得x=773，
∴FF′＝OF′﹣OF=773−7=473，
∴菱形ABCD平移的距离为473，
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
菱形ABCD平移的距离为774，
综上，当菱形ABCD平移的距离为473或774时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．

24．（2020•昆山市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与反比例函数y=kx（x＞0）交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数y=kx（x＞0）于点D，连接AD，CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）设E为直线AB上一点，过点E作EF∥x轴，交反比例函数y=kx（x＞0）于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．

【分析】（1）∵根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据一次函数的解析式得到B（0，4），把y＝4代入y=6x中得到D（32，4），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据平行四边形的性质得到EF＝AO＝2，设点E（t，2t+4），①当点E位于点F的左侧时，得到点F（t+2，2t+4），②当点E位于点F的右侧时，得到点F（t﹣2，2t+4），解方程即可得到结论．
【解析】（1）∵直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
∵点C（m，6）在直线y＝2x+4上，
∴2m+4＝6，
∴m＝1，
∴C（1，6），
把C（1，6）代入y=kx得，k＝1×6＝6；
（2）∵直线y＝2x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4），
∵BD⊥y轴，
∴把y＝4代入y=6x中得，x=32，
∴D（32，4），
∴△ACD的面积=12×32×6=92；
（3）∵以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，EF∥AO，
∴EF＝AO＝2，
设点E（t，2t+4），
①当点E位于点F的左侧时，
∴点F（t+2，2t+4），
则（t+2）（2t+4）＝6，
∴t＝﹣2±3，
∵t＞﹣2，
∴t＝﹣2+3，
∴E（3−2，23）；
②当点E位于点F的右侧时，
∴点F（t﹣2，2t+4），
则（t﹣2）（2t+4）＝6，
解得：t=±7，
∵t＞﹣2，
∴t=7，
∴E（7，27+4），
综上所述，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为（3−2，23）或（7，27+4）．
25．（2020•高新区一模）如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成以AP为底的等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．
【解析】（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，
∴k＝3，
∴反比例函数的函数表达式为：y=3x，
∵B在y=3x的图象上，
∴n＝﹣3．
∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数图象上，
∴m+b=3−3m+b=−1，
解得m＝1，b＝2．
∴一次函数的函数表达式为：y＝x+2；
（2）设点P（a，3a），
∵点A，O，P构成以AP为底的等腰三角形，
∴OA＝OP，
∴OA2＝OP2，
∴（3﹣0）2+（1﹣0）2＝（x﹣0）2+（3x−0）2，
∴x1＝1（舍去），x2＝﹣1（舍去），x3＝﹣3，x4＝3，
∴点P（﹣3，﹣1）或（3，1）．
26．（2020•铜山区一模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（10，0），若OB＝AB，且S△OAB＝30．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝10，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝8，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（18﹣a）2+36，BP2＝（10﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【解析】（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（10，0），
∴OB＝10，
∵S△OAB＝30，
∴12×10×AD＝30，
∴AD＝6，
∵OB＝AB，
∴AB＝10，
在Rt△ADB中，BD=AB2−AD2=8，
∴OD＝OB+BD＝18，
∴A（18，6），
将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m＝18×6＝108，
∴反比例函数的解析式为y=108x，
将点A（18，6），B（10，0）代入直线y＝kx+b中，18k+b=610k+b=0，
∴k=34b=−152，
∴直线AB的解析式为y=34x−152；

（2）由（1）知，AB＝10，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝10，
∴P（0，0）或（20，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝8，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝8，
∴OP＝10+8+8＝26，
∴P（26，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（18，6），B（10，0），
∴AP2＝（18﹣a）2+36，BP2＝（10﹣a）2，
∴（18﹣a）2+36＝（10﹣a）2
∴a=654，
∴P（654，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（20，0）或（26，0）或（654，0）．


27．（2020•铁西区模拟）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y=mx的图象经过点B．
（1）一次函数关系式为　y=−12x−12　、反比例函数的关系式为　y=−3x　；
（2）当x＜0时，kx+b−mx＜0的解集为　﹣3＜x＜0　；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求M的坐标和AM+BM的最小值．
（4）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为　−73　．

【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，由△AOC≌△CFB求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；
（2）当x＜0时，求出一次函数值y＝kx+b小于反比例函数y=mx的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．
（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A′的坐标可求出AM+BM的最小值．
（4）把B向右平移1个单位得到B′（﹣2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），连接A′B′交x轴于点F，求出直线A′B′的解析式求出点F的坐标即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵点C坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵tan∠ACO＝2=OAOC，
∴OA＝2，
点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1=mx，
解得：m＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y=−3k，
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：
−3k+b=1−k+b=0，
解得：k=−12b=−12．
故可得一次函数解析式为y=−12x−12．
故答案为：y=−12x−12，y=−3x．

（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b−mx＜0的解集为：﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．

（3）如图2中，作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，

设直线BA'的解析式为y＝ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：
−3a+b=1b=−2，解得：a=−1b=−2，
故直线BA'的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′=(−3−0)2+[1−(−2)2]=32，
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为32．

（4）如图3中，把B向右平移1个单位得到B′（﹣2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），连接A′B′交x轴于点F，

∵直线A′B′的解析式为y=−32x﹣2，
∴F（−43，0），
∴OF=43
∴OE＝1+43=73
∴点E的横坐标为−73，
故答案为−73．
28．（2020•历下区校级模拟）如图，已知一次函数y=52x﹣2与反比例函数y=kx的图象相交于点A（2，n），与x轴相交于点B．
（1）求k的值以及点B的坐标；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值，最后根据y＝0可得点B的坐标
（2）根据两点的距离公式可得AB的长，由菱形的边长相等可得AD＝AB，根据AD与BC平行，可知A与D的纵坐标相等，由此可得D的坐标；
（3）作点B（45，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（−45，0），连接AQ交y轴的交点为P，求出AQ解析式即可求解．
【解析】（1）把点A（2，n）代入一次函数y=52x﹣2，
可得n=52×2−2＝3；
把点A（2，3）代入反比例函数y=kx，
可得k＝xy＝2×3＝6，
∵一次函数y=52x﹣2与x轴相交于点B，
∴52x﹣2＝0，
解得x=45，
∴点B的坐标为（45，0）；

（2）∵点A（2，3），B（45，0），
∴AB=(2−45)2+(3−0)2=26125=3295，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB=3295，AD∥BC，
∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，
∴D（2+3295，3）；

（3）存在，

如图，作点B（45，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（−45，0），连接AQ交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，
设直线AQ的解析式为：y＝kx+b，
则−45k+b=02k+b=3，解得：k=1514b=67，
∴直线AQ的关系式为y=1514x+67，
∴直线AQ与y轴的交点为P（0，67）．
29．（2020春•徐州期末）如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y=nx（x＞0）经过点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．

【分析】（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，利用一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及等腰三角形的性质可得出点E的坐标，由点E的坐标利用待定系数法可求出一次函数解析式，由BD∥OA，OE＝OB可求出BD的长，进而可得出点D的坐标，由正方形的性质可求出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，由点D的坐标可得出点D′的坐标，由点C，D′的坐标，利用待定系数法可求出直线CD′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（x，y），分DP为对角线、CD为对角线及CP为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点M的坐标，此题得解．
【解析】（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．
当x＝0时，y＝kx+2＝2，
∴OA＝2．
∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，
∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．
将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，
∴BD∥OA．
∵OE＝OB＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴点D的坐标为（2，4）．
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．
∵反比例函数y=nx（x＞0）经过点C，
∴n＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y=8x．
（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．
∵点D的坐标为（2，4），
∴点D′的坐标为（2，﹣4）．
设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：4a+b=22a+b=−4，
解得：a=3b=−10，
∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．
当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x=103，
∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（103，0）．
（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．
①当DP为对角线时，x+4=2+103y+2=4+0，
解得：x=43y=2，
∴点M1的坐标为（43，2）；
②当CD为对角线时，x+103=2+4y+0=4+2，
解得：x=83y=6，
∴点M2的坐标为（83，6）；
③当CP为对角线时，x+2=4+103y+4=2+0，
解得：x=163y=−2，
∴点M3的坐标为（163，﹣2）．
综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（43，2），（83，6）或（163，﹣2）．



30．（2020•高新区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求△OMN的面积；
（2）在点M的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值．

【分析】（1）①由矩形的性质及M是BC中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；
②先求出点N的坐标，从而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根据S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN计算可得．
（2）设M（a，2），据此知反比例函数解析式为y=2ax，求出N（4，a2），从而得BM＝4﹣a，BN＝2−a2，再代入计算可得．
【解析】（1）①∵点B（4，2），且四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，
∵点M是BC中点，
∴CM＝2，
则点M（2，2），
∴反比例函数解析式为y=4x；
②当x＝4时，y=4x=1，
∴N（4，1），
则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，
∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN
＝4×2−12×4×1−12×2×2−12×2×1
＝3；

（2）设M（a，2），
则k＝2a，
∴反比例函数解析式为y=2ax，
当x＝4时，y=a2，
∴N（4，a2），
则BM＝4﹣a，BN＝2−a2，
∴MBNB=4−a2−a2=4−a4−a2=2．