北师大九下数学 解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法

——形成思维模式，快速解题

　类型一　遇弦添加弦心距或半径

1．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E.若AB＝24，OE＝5，则⊙O的半径为(　　)

A．15  B．13  C．12  D．10

第1题图     第2题图

2．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，求AC的长．

类型二　遇直径添加直径所对的圆周角

4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．70°

第4题图        第5题图

5．如图，BC为半圆O的直径，A，D为半圆上两点，AB＝，BC＝2，则∠D的度数为________度．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若∠B＝70°，求的度数；

(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

类型三　遇切线连接圆心和切点

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，求DM的长．

参考答案与解析

1．B　2.10

3．解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D.∵OA＝OC，OD⊥AC，∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC.又∵∠AOC＝2∠B，∴∠COD＝∠B＝60°.在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，∴CD＝OC·sin∠COD＝2，∴AC＝2CD＝4.

4．C　5.150

6．(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.

(2)解：连接OD，OE.在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，∴的度数为40°.

(3)解：连接CD.由(1)可知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6.设AB＝AC＝x，则AD＝AB－BD＝x－2.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，即(x－2)2＋32＝x2，解得x＝9，即AC的长为9.

7．115°

8．解：连接OE，OF，ON，OG.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝BC－BG－MG＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，∴MN＝，∴DM＝3＋＝.