北师大九下数学 类比归纳专题：切线证明的常用方法

类比归纳专题：切线证明的常用方法

——弄清不同条件下证明方式，体会异同

类型一　有切点型：连半径，证垂直

一、利用角度转换证垂直

1．(2017·肥城市二模)如图，等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E，F是AC上的点，下列说法错误的是(　　)

A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线

B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC

C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线

D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线

2．(2017·景德镇二模)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC＝∠A，求证：BD是⊙O的切线．【方法10③】

3．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.求证：AB是⊙O的切线．【方法10③】

二、利用全等证垂直

4．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是⊙O的切线．【方法10③】

类型二　无切点型：作垂直，证半径

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．

参考答案与解析

1．C　解析：连接OE，则OB＝OE.∵∠B＝60°，∴∠BOE＝60°.∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线，∴A选项正确．∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF.又OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确．过O作OH⊥AC于H，∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB.∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB.∵∠BAC＝60°，∴OH＝AO≠OB，∴C选项错误．∵BE＝EC，∴CE＝BE.∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE＝OB，∴OH＝AO＝OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选C.

2．证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.∵∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°.又∵∠CBD＝∠A，∴∠ADO＋∠CDB＝90°，∴∠ODB＝180°－(∠ADO＋∠CDB)＝90°.∴BD是⊙O的切线．

3．证明：连接OA，OD.∵点D为CE的下半圆弧的中点，∴∠EOD＝90°，∴∠D＋∠OFD＝90°.∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°，即∠OAB＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线．

4．证明：如图，连接OC.∵AC∥OP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠4.∵在△POC与△POB中，∴△POC≌△POB(SAS)，∴∠PCO＝∠PBO.∵PB切⊙O于点B，AB是⊙O的直径，∴∠PBO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切．

5．证明：过点O作OM⊥AB于M.∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.又∵AO平分∠CAB，OM⊥AB，∴OM＝OC，∴AB是⊙O的切线．