高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测19《同角三角函数的基本关系与诱导公式》(教师版)

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对点练(一) 同角三角函数的基本关系
1．若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A.eq \f(12,5)B．－eq \f(12,5)
C.eq \f(5,12)D．－eq \f(5,12)
解析：选D 因为α为第四象限角，故cs α＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq \f(5,12).
2．已知2sin α＝1＋cs α，则tan α的值为( )
A．－eq \f(4,3)B.eq \f(4,3)
C．－eq \f(4,3)或0D.eq \f(4,3)或0
解析：选D 由2sin α＝1＋cs α得sin α≥0，且4sin2α＝1＋2cs α＋cs2α，
因而5cs2α＋2cs α－3＝0，解得cs α＝eq \f(3,5)或cs α＝－1，那么tan α＝eq \f(4,3)或0，故选D.
3．若sin θ＋cs θ＝eq \f(2,3)，则tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝( )
A.eq \f(5,18)B．－eq \f(5,18)
C.eq \f(18,5)D．－eq \f(18,5)
解析：选D 由sin θ＋cs θ＝eq \f(2,3)，得1＋2sin θcs θ＝eq \f(4,9)，即sin θcs θ＝－eq \f(5,18)，
则tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝－eq \f(18,5)，故选D.
4．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))且sin θ＋cs θ＝a，其中a∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )
A．－3B．3或eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3)D．－3或－eq \f(1,3)
解析：选C sin θ＋cs θ＝a，两边平方可得2sin θ·cs θ＝a2－1，由a∈(0,1)得sin θ·cs θ<0，又∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cs θ>0，∴sin θ<0，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，又由sin θ＋cs θ＝a>0知|sin θ|<|cs θ|，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，从而tan θ∈(－1,0)．故选C.
5．已知A为三角形的内角，sin A＝eq \f(4,5)，则eq \f(5cs A＋2,3tan A－2)＝________.
解析：由A为三角形的内角，sin A＝eq \f(4,5)，得cs A＝eq \f(3,5)，tan A＝eq \f(4,3)或cs A＝－eq \f(3,5)，tan A＝－eq \f(4,3)，因而eq \f(5cs A＋2,3tan A－2)＝eq \f(3＋2,4－2)＝eq \f(5,2)或eq \f(5cs A＋2,3tan A－2)＝eq \f(－3＋2,－4－2)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(5,2)或eq \f(1,6)
6．已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cs θ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ＝________.
解析：由题意知sin θ·cs θ＝－eq \f(1,2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2θ＋cs2θ＝1，,sin θ·cs θ＝－\f(1,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),2)，,cs θ＝－\f(\r(2),2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(\r(2),2)，,cs θ＝\f(\r(2),2)，))
又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cs θ＝－eq \f(\r(2),2)，∴θ＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
7．已知α∈R，sin2α＋4sin αcs α＋4cs2α＝eq \f(5,2)，则tan α＝________.
解析：∵sin2α＋4sin αcs α＋4cs2α＝eq \f(sin2α＋4sin αcs α＋4cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋4tan α＋4,tan2α＋1)＝eq \f(5,2)，
∴3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或－eq \f(1,3).
答案：3或－eq \f(1,3)
对点练(二) 三角函数的诱导公式
1．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|A．－eq \f(π,6)B．－eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6)D.eq \f(π,3)
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，∴－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，∴tan θ＝eq \r(3).
∵|θ|2．已知sin θ＝eq \f(1,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则sin(π－θ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),9)B．－eq \f(2\r(2),9)
C.eq \f(1,9)D．－eq \f(1,9)
解析：选B ∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3).
∴sin(π－θ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＝－sin θcs θ＝－eq \f(1,3)×eq \f(2\r(2),3)＝－eq \f(2\r(2),9).
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)＋x))＝eq \f(1,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(2,5)D．－eq \f(2,5)
解析：选A cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋\f(π,6)＋x))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)＋x))＝－eq \f(1,5).
4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α 的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5)B.eq \f(3\r(7),7)
C.eq \f(3\r(10),10)D.eq \f(1,3)
解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，
又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).
5．已知tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则eq \f(cs－α＋3sinπ＋α,csπ－α＋9sin α)＝( )
A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(3,7)
C.eq \f(1,5)D.eq \f(3,7)
解析：选A 由tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，得tan α＝eq \f(2,3).
eq \f(cs－α＋3sinπ＋α,csπ－α＋9sin α)＝eq \f(cs α－3sin α,－cs α＋9sin α)＝eq \f(1－3tan α,－1＋9tan α)＝eq \f(1－2,－1＋6)＝－eq \f(1,5).故选A.
6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线4x－y＝0上，
则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝( )
A．－eq \f(2,3)B．2
C．0D.eq \f(2,3)
解析：选D 设点P(a,4a)(a≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝eq \f(y,x)＝4，再根据诱导公式，得eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq \f(－2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(－2,1－tan θ)＝eq \f(2,3).故选D.
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知sin α＝eq \f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))的值．
解：tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α).
∵sin α＝eq \f(2\r(5),5)>0，∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5)，则原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(5,2)；
当α为第二象限角时，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5)，则原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝－eq \f(5,2).
2．已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π).
(1)化简f(α)；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)＝eq \f(－cs α·sin α·－tan α,－tan α·sin α)＝－cs α.
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，∴－sin α＝eq \f(1,5)，从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
∴f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
3．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值．
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：∵sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，
∴－sin α＝－2cs α，即sin α＝2cs α.
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,10cs α＋2cs α)＝eq \f(－2,12)＝－eq \f(1,6).
(2)∵sin α＝2cs α，∴tan α＝2，
∴原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(4＋4,4＋1)＝eq \f(8,5).