人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练6　利用导数证明问题

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(1)若a=1,求b的值;
(2)求证:f(x)≥g(x).
2.(2021·辽宁朝阳一模)已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:对∀x∈R,f(x)>0恒成立.
3.(2021·河北石家庄三模)已知函数f(x)=aln x-x2+x+3a.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若00,令f'(x)=0,即-2x2+x+a=0,Δ=1+8a.
当Δ≤0,即a≤-18时,f'(x)≤0,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
当Δ>0,即a>-18时,由f'(x)=0,得x1=1+1+8a4,x2=1-1+8a4,则x1>x2.
①当a≥0时,x1>0,x2≤0,x∈(0,x1)时,f'(x)>0,x∈(x1,+∞)时,f'(x)0,
∴f(x)在区间(0,x2)和(x1,+∞)上单调递减,在区间(x2,x1)上单调递增.
综上所述,当a≤-18时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;
当a≥0时,f(x)在区间0,1+1+8a4上单调递增,在区间1+1+8a4,+∞上单调递减;
当-180,当ln x+30时,由于00,u(x)单调递增,
故u(x)min=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0.
令h(x)=x-xln x-1,则h'(x)=-ln x.
令h'(x)=0,得x=1,当02x1,且x1>0,x2>0,
∴x1ln x1-ax12+x1=0,x2ln x2-ax22+x2=0,即ln x1+1=ax1,ln x2+1=ax2,
∴a=ln x1+ln x2+2x1+x2=ln x2-ln x1x2-x1,
即ln(x1x2)+2=(x1+x2)lnx2x1x2-x1.
令t=x2x1,则t>2,于是ln(x1x2)+2=(t+1)lntt-1,
令g(t)=(t+1)lntt-1,则g'(t)=t-1t-2lnt(t-1)2.
令h(t)=t-1t-2ln t,则h'(t)=(t-1)2t2>0,
∴h(t)在区间(2,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(2)=32-2ln 2>0,∴g'(t)>0,∴g(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
∴g(t)>g(2)=3ln 2,
∴ln(x1x2)+2>3ln 2,即ln(x1x2)>3ln 2-2=ln8e2,
∴x1x2>8e2,
∴x12+x22>2x1x2>4e(由于x1≠x2,故不取等号).