人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练10　三角函数与解三角形解答题

这是一份人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练10　三角函数与解三角形解答题，共10页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,若f=a·等内容，欢迎下载使用。
专题突破练10　三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)在区间上的最值.        2. (2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=,MN=.  (1)求∠A;(2)求BM.         3. (2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4.给出如下三种数值方案: ①AD=;②AD=;③AD=2.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.         4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcos C+ccos B=4,B=.请在下列三个条件中,任意选择一个添加到题目的条件中,求△ABC的面积.①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B;②b=4;③csin B=bcos C.          5. (2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告.注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.  (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.              6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=.(1)若cos Acos C=,求△ABC的面积.(2)试问=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.                 7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求的最小值.          8. (2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=.计划在上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ.(1)当θ=时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.           
专题突破练10　三角函数与解:三角形解:答题1.解: 由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4sin xcos x+4sin2x=1+2sin 2x+4·=2sin 2x-2cos 2x+3=4sin+3.(1)由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)由于x∈,所以2x-,故当2x-,即x=时,函数f(x)取最大值7;当2x-=-,即x=0时,函数f(x)取最小值1.2. 解: (1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC,所以MC=MA. 在Rt△AMN中,MA=,所以MC=.在△MBC中,由正弦定理可得,而∠BMC=2∠A,所以,即,所以cos A=,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA==2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=-1(负值舍去).3.解: 过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2,当AD=时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=时,AE<AD<AB<AC,所以方案②对应△ABD有两解,当AD=2时,AB<AD<AC,所以方案③对应△ABD只有一解.由方案③知AD=2,设BD=x(x>0),所以在△ABD中由余弦定理得(2)2=42+x2-2×4×x×cos 60°,即x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC中易得BC=8,BD=6<BC,符合题意,所以BD的长为6.4.解: 若选择条件①,则(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,由正弦定理可得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,整理得a2+b2-c2=ab,所以cos C=,故C=.又B=,所以A=π-.又因为bcos C+ccos B=4,所以b·+c·=4,即a=4.由正弦定理可得,所以b==4(-1),故△ABC的面积S=absin C=×4×4(-1)×sin=4(3-).若选择条件②,则b=4.又因为bcos C+ccos B=4,所以b·+c·=4,即a=4.又B=,所以由正弦定理可得,所以sin A=,所以A=或A=.由于b>a,所以B>A,因此A=不合题意舍去,故A=,从而C=π-.故△ABC的面积S=absin C=×4×4×sin=4(+1).若选择条件③,因为bcos C+ccos B=4,所以b·+c·=4,所以a=4.因为csin B=bcos C,所以sin Csin B=sin Bcos C,所以tan C=,于是C=,从而A=π-,所以由正弦定理可得,所以b==4(-1),故△ABC的面积S=absin C=×4×4(-1)×sin=4(-1).5.解: (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是h.③(方法一)在△ACD中,由正弦定理,得,所以AC=,在Rt△ACE中,有AE=ACsin β=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(方法二)在Rt△ADE中,DE=,在Rt△ACE中,CE=,所以CD=DE-CE=,所以AE=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.6.解: (1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,即=cos Acos C-sin Asin C.因为cos Acos C=,所以sin Asin C=.因为=2,所以a=2sin A,c=2sin C.所以S△ABC=·2sin A·2sin C·sin B=4sin A·sin Bsin C=4×.(2)假设=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c≥2,所以=1不成立.7.解: (1)由=sin B-sin A,可得(b-c)sin C=(sin B-sin A)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cos A=,因为0<A<π,可得A=.(2)由(1)知A=,设△ABC的外接圆的半径为R(R>0),可得2R=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc,即bc≤a2=4,当且仅当b=c=2时取等号,又,所以的最小值为.8.解: (1)在△POQ中,因为∠AQC=,所以∠AQO=.又OA=OB=3,所以OQ=.设∠OPQ=α,则∠PQO=-α+θ.由正弦定理,得,即sin α=cos(α-θ),整理得tan α=,其中θ∈.当θ=时,tan α=.因为α∈,所以α=.故当θ=时,∠OPQ=.(2)设f(θ)=,θ∈,则f'(θ)=.令f'(θ)=0,得sin θ=,记锐角θ0满足sin θ0=.当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<时,f'(θ)<0.所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈,又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=.