高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第1课时学案设计

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第1课时 集合的概念
中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议，于2020年10月26至29日在北京召开．
[问题] 参加十九届五中全会的代表能否构成一个集合？



知识点一 元素与集合的相关概念
1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复．
eq \a\vs4\al()
集合中元素的三个特性
(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合；
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素；
(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．
1．用“bk”中的字母组成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“”“k”3个元素．
2．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1.
答案：2
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A．
2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A．
eq \a\vs4\al()
符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
答案：C
知识点三 常见的数集及符号表示
N与N＋(N*)有何区别？
提示：N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.
用“∈”或“∉”填空：
eq \f(1,2)______N; －3______Z; eq \r(2)______Q; eq \r(5)______R.
答案：∉ ∈ ∉ ∈
[例1] (多选)下列各组对象能组成一个集合的是( )
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第23届冬季奥运会金牌获得者
[解析] A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
[答案] BCD
eq \a\vs4\al()
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟踪训练]
(多选)下列各组对象能组成集合的是( )
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数y＝eq \f(1,x)图象上所有的点
解析：选ACD 选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
[例2] (链接教科书第5页练习2题)(1)下列五个关系中，正确的个数为( )
①eq \f(7,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③π∈Q；④|－3|∉N；⑤－eq \r(4)∈Z.
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)若集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)由于eq \f(7,2)∈R，－eq \r(4)∈Z，eq \r(2)是无理数，故①②⑤正确，因为π是无理数，|－3|＝3是自然数，所以③④错误．故选C.
(2)由题意可得x为自然数，所以eq \f(6,3－x)可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素为2，1，0.
[答案] (1)C (2)2，1，0
eq \a\vs4\al()
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟踪训练]
1．(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝eq \r(2)＋eq \r(3)，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.eq \f(1,a)∈A D．a＋1∈A
解析：选ACD a＝eq \r(2)＋eq \r(3)＜eq \r(4)＋eq \r(4)＝4＜5，所以a∈A.
a＋1＜eq \r(4)＋eq \r(4)＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝(eq \r(2))2＋2eq \r(2)×eq \r(3)＋(eq \r(3))2＝5＋2eq \r(6)＞5，所以a2∉A，eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),（\r(2)＋\r(3)）（\r(3)－\r(2)）)＝eq \r(3)－eq \r(2)＜5，所以eq \f(1,a)∈A.
2．用∈，∉填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.
解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17，得k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5，得k＝－eq \f(7,3)∉Z.所以－5∉A.
答案：∈ ∉
[例3] 已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
[解] 因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－eq \f(3,2)时，经检验，符合题意．故a＝－eq \f(3,2).
[母题探究]
1．(变设问)本例集合A中含有三个元素，实数a的取值是否有限制？
解：有限制．
由元素的互异性可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2≠12，,2a2＋5a≠12，,a－2≠2a2＋5a.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠14，,a≠\f(3,2)，且a≠－4，,a≠－1，))
所以实数a不能取四个值：14，eq \f(3,2)，－4，－1.
2．(变设问)本例集合A中能否只有一个元素？
解：若该集合中只有一个元素，则有a－2＝2a2＋5a＝12.
由a－2＝12，解得a＝14，此时2a2＋5a＝2×142＋5×14＝462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素．
eq \a\vs4\al()
根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤

[跟踪训练]
1．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
2．已知集合A中含有三个元素1，a，a－2，且3∈A，则实数a的值为( )
A．3 B．5
C．3或5 D．无解
解析：选B 因为3∈A，所以a－2＝3或a＝3.当a－2＝3，即a＝5时，满足题意；当a＝3时，a－2＝1，不满足集合中元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B.
1．(多选)下列对象可以组成集合的是( )
A．北师大附中的高一尖子生
B．π的近似数
C．大于1的实数
D．参加建党100周年表彰大会的代表
解析：选CD 任给一个实数，要么大于1，要么不大于1，具有确定性，故C中的对象可以组成集合，而A、B中的对象不具有确定性，不能构成集合．D中的对象满足确定性，能组成集合．
2．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析：选D 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
3．(多选)下列结论中，正确的是( )
A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R
解析：选BCD A不正确．反例：a＝1∈N，eq \f(1,a)＝1∈N.
4．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.
答案：0或－1
5．方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合为集合A，若a＝1，则A中的元素为________；若a≠1，则A中的元素为________．
解析：原方程可化为(x－a)(x－1)＝0，解得x＝a或x＝1，若a＝1，则A中只有一个元素1；若a≠1，则A中的元素有a，1两个．
答案：1 1，a
新课程标准解读
核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系
数学抽象、逻辑推理
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合
数学抽象
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
正实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N＋或N*
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
eq \a\vs4\al(R＋)
集合概念的理解
元素与集合的关系
集合中元素特性的应用