北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件第2课时学案

2.1必要条件与充分条件

第2课时　充要条件

主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．

[问题]　(1)张三为什么走了？

(2)李四为什么也走了？

知识点　充要条件

1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．

2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．

3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．

“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成立”“q成立当且仅当p成立”．　　　　

1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

1．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的(　　)

A．充分而不必要条件　　 B．充要条件

C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件

答案：C

2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　)

A．x＜0，y＜0  B．x＜0，y＞0

C．x＞0，y＞0  D．x＞0，y＜0

答案：B

3．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．

(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；

(2)“x＜5”是“x＜3”的________．

解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．

答案：(1)充要条件　(2)必要不充分条件

[例1]　(链接教科书第17页例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

(1)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

(2)p：|x|＞3，q：x2＞9.

[解]　(1)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；

若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，

所以p是q的充要条件．

(2)由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件．

1．判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件．

2．在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集．　　　　

[跟踪训练]

1．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0　　　　　 B．ab＞0

C．a2＋b2＝0  D．a2＋b2＞0

解析：选D　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.

2．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________．

解析：A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．

若A＝∅，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；

若A≠∅，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.

综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.

答案：a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)

[例2]　证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.

[证明]　(1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，

又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD.

(2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.

∵AD∥BE，DE∥AC，

∴四边形ACED是平行四边形．

∴DE＝AC.

∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.

又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.

在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC.

∴梯形ABCD为等腰梯形．

由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；

(2)在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

[提醒]　证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向．　　　　

[跟踪训练]

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明：设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.

①必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或

解得m≤3.

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．

[母题探究]

1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.

所以或

解得m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

若p是q的充要条件，则方程组无解．

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　　　

[跟踪训练]

已知a＞0，设p：－a≤x≤3a，q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|1＜a＜2}　　　　 B．{a|1≤a≤2}

C．{a|0＜a＜1}  D．{a|0＜a≤2}

解析：选C　因p是q的充分不必要条件，即解得0<a<1.故选C.

1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　结合Venn图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，则A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

2．使不等式2x－4≥0成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．x＜2  B．x≤0或x≥2

C．x∈{2，3，5}  D．x≥2

解析：选C　由2x－4≥0得x≥2，所以选项中只有{2，3，5}{x|x≥2}，故只有C选项中的条件是使不等式2x－4≥0成立的一个充分不必要条件．

3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2.

答案：－2

4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；

(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；

(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．

解：(1)因为p⇔q，所以p是q的充要条件．

(2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件．

(3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．