北师大版 (2019)2.2 全称量词与存在量词第1课时学案设计

2.2全称量词与存在量词

第1课时　全称量词命题与存在量词命题

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”．

[问题]　你能对上述问题进行逻辑分析吗？

知识点一　全称量词命题与全称量词

1．全称量词命题

在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．

2．全称量词

在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．

1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”．

2．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(　　)

(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(　　)

(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×

2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．

解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．

答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立

知识点二　存在量词命题与存在量词

1．存在量词命题

在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．

2．存在量词

在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示，读作“存在”．

1．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．

2．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．　　　　

1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

解析：选B　A是全称量词命题．

B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．

因为＋(－)＝0，所以C为假命题．

对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.

2．下列语句是存在量词命题的是________．(填序号)

①任意一个自然数都是正整数；

②存在整数n，使n能被11整除；

③若3x－7＝0，则x＝；

④有些函数为奇函数．

答案：②④

[例1]　(链接教科书第19页例4)(1)下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数．其中是全称量词命题的为____________，是存在量词命题的为____________．(填序号)

(2)用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：

①所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；

②对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

③一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立．

(1)[解析]　①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．

[答案]　②④⑤　①③

(2)[解]　①∀x∈R，x2＋x＋1＞0.

②∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解．

③∃x，y∈Z，3x－2y＝10.

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

[提醒]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．　　　　

[跟踪训练]

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：

(1)矩形有一个外接圆；

(2)非负实数有两个平方根；

(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立．

解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．

(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．

(3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题.

[例2]　判断下列命题的真假：

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；

(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；

(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.

[解]　(1)是真命题．

(2)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．

(3)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．

(4)是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立．

(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．

全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧

(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；

(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．　　　　

[跟踪训练]

指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：

(1)∃x∈Q，x2＝3；

(2)每一个三角形的内角和都是180°；

(3)钝角三角形有的高在三角形外部；

(4)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0.

解：(1)存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数．因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题．

(2)全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．

(3)存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．

(4)全称量词命题．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题.

[例3]　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是____________．

(2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．

(1)[解析]　当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m|m＞－1}．

[答案]　{m|m＞－1}

(2)[解]　由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.

综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．

[母题探究]

(变条件)本例(2)中的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．

解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．

利用含量词的命题的真假求参数的取值范围

(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围；

(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．　　　　

[跟踪训练]

若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．

答案：(－∞，5]

1．下列命题：

①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；

②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．

其中是全称量词命题的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选B　由定义知②③正确．故选B.

2．下列各命题中，真命题是(　　)

A．∀x∈R，1－x2＜0  B．∀x∈N，x2≥1

C．∃x∈Z，x3＜1  D．∃x∈Q，x2＝2

解析：选C　∃x∈Z，x3＜1正确．A、B、D不正确．

3．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．

答案：①②③　④

4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：

(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；

(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．

解：(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝＋＞0.所以该命题为假命题．

(2)全称量词命题．如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题．