北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案，共9页。


在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
[问题] 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？



知识点 函数的奇偶性
1．奇函数
(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；
(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．
2．偶函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；
(2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然．
3．奇偶性
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．
eq \a\vs4\al()
对函数奇偶性的再理解
(1)定义域I具有对称性，即∀x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；
(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函数又是偶函数．
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析：选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝eq \f(1,\r(x))；④y＝eq \f(1,2)x2，x∈[0，1]．
答案：②
3．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．
答案：1
4．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2 0
[例1] (链接教科书第65页例2)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)；
(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(3)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R)．
[解] (1)∵函数f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)法一(定义法)：函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
法二(根据图象进行判断)：f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4，x≥2，,－2x，－2(3)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
eq \a\vs4\al()
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
[提醒] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
[跟踪训练]
下列四个函数中为偶函数的是( )
A．y＝2x B．y＝eq \f(x5－x4,x－1)
C．y＝x2－2x D．y＝|x|
解析：选D 由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为{x|x≠1}，故y＝eq \f(x5－x4,x－1)为非奇非偶函数；C中，f(－x)≠－f(x)，f(x)≠f(－x)，故y＝x2－2x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故y＝|x|为偶函数．
[例2] (链接教科书第71页B组7题)(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________；
(3)已知函数f(x)＝eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)为奇函数，则a＝________．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3).
易知函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝x2－(a－4)x－4a，因为f(x)为偶函数，所以两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
(3)因为f(x)是奇函数，f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＝0，即eq \f(（1＋1）（1＋a）,1)＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意．
[答案] (1)eq \f(1,3) 0 (2)4 (3)－1
eq \a\vs4\al()
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[跟踪训练]
若函数f(x)＝eq \f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,4) D．1
解析：选A 因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
所以eq \f(－1,1＋a)＝－eq \f(1,3（1－a）)，
所以1＋a＝3(1－a)，解得a＝eq \f(1,2).
角度一 定义法求函数解析式
[例3] 已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(－1)；
(2)求f(x)的解析式．
[解] (1)因为函数f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.
(2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.))
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x>0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x≥0，,－2x2－3x＋1，x<0.))
eq \a\vs4\al()
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)．
角度二 方程组法求函数解析式
[例4] 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[解] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，
∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1).
eq \a\vs4\al()
已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
[跟踪训练]
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
解析：选A 法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
法二：由已知条件，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－2）＝（－2）5＋a（－2）3＋b（－2）－8， ①,f（2）＝25＋a·23＋b·2－8， ②))
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
[例5] (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f(－1)C．f(3)(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围为________；
(3)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)[解析] (1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，
又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0.
由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以f(1)>f(0)，即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，于是f(－1)(2)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,1－a2>a－1，))解得0≤a<1.
∴a的取值范围是[0，1)．
(3)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|，))解得－1≤m∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
[答案] (1)D (2)[0，1) (3)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
eq \a\vs4\al()
奇偶性与单调性综合问题的两种题型及解法
(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小；
(2)抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)[跟踪训练]
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)解析：选A 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)，故选A.
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1解析：选C 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.
1．(多选)下列函数是奇函数的有( )
A．y＝eq \f(x（x－1）,x－1) B．y＝－3xeq \s\up6(\f(1,3))
C．y＝x－eq \f(2,x) D．y＝πx3－eq \f(3,5)x
解析：选BCD 先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f(－x)与f(x)的关系．选项A中函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B、D中函数定义域均为R，且f(－x)＝－f(x)，故为奇函数；选项C中函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，也是奇函数．
2．已知y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选D 因为y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实数根之和为0.
3．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选D ∵f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于任意x∈R都成立．∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0.故选D.
4．已知奇函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解析：选C 由函数f(x)为奇函数，f(2)＝－1，知f(－2)＝1，∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(2)≤f(x－2)≤f(－2)，又函数f(x)在R上单调递减，∴－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4.故选C.
5．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1)＝f(3)＝－3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)＝f(x)．
①直接写出g(x)的单调递减区间为________；
②若g(a)>a，求a的取值范围．
解：(1)由f(1)＝f(3)＝－3，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋b＋c＝－3，,9＋3b＋c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝0.))
(2)①[－2，2]．
②由(1)知f(x)＝x2－4x，
则当x≥0时，g(x)＝x2－4x；
当x<0时，－x>0，
则g(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，
因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝－x2－4x.
若g(a)>a，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥0，,a2－4a>a))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,－a2－4a>a，))
解得a>5或－5综上，a的取值范围为(－5，0)∪(5，＋∞)．
新课程标准解读
核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
数学抽象
2.了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用
直观想象、逻辑推理
判断函数的奇偶性
利用函数奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求解析式(值)
奇偶性与单调性的综合应用