高中北师大版 (2019)2.2 函数的表示法第1课时学案设计

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第1课时 函数的表示法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
[问题] 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？





知识点 函数的表示方法
eq \a\vs4\al()
函数三种表示法的优缺点比较

所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如狄利克雷函数：D(x)＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ；))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
A.1 B．2
C．3 D．不存在
解析：选C ∵当22．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．
解析：由题图可知f(x)的定义域为[－2，3]．
答案：[－2，3]
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．
解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2).
所以f(t)＝6×eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
答案：f(x)＝3x＋2
[例1] (链接教科书第56页练习3题)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] ①列表法：
②图象法：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
eq \a\vs4\al()
理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[跟踪训练]
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N＋)的函数关系．
解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N＋}．
①解析法：S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－x,4)))eq \s\up12(2).
将上式整理得S＝eq \f(1,8)x2－eq \f(5,4)x＋eq \f(25,4)，x∈{x|1≤x<10，x∈N＋}．
②列表法：
③图象法：
[例2] (链接教科书第54页例3)作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)
(2)y＝－eq \f(4,x)，x∈[－3，0)∪(0，1]；
(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]．
[解] (1)该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．
(2)作出函数y＝－eq \f(4,x)，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)).
(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]．
eq \a\vs4\al()
画函数图象的两种常见方法
(1)描点法
一般步骤：
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
[跟踪训练]
画出函数y＝x－[x]的图象，其中[x]表示实数x的整数部分．
解：依题意知y＝x－[x]的定义域为R，值域[0，1)，它的图象如图所示．
角度一 用待定系数法求函数解析式
[例3] 已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))
∴f(x)＝x2－2x－1.
eq \a\vs4\al()
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
角度二 利用换元法(配凑法)求函数解析式
[例4] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.
eq \a\vs4\al()
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．
利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域．
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
角度三 用方程组法求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．
[解] 在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代换x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）－2f（－x）＝1＋2x，,f（－x）－2f（x）＝1－2x，))
消去f(－x)，可得f(x)＝eq \f(2,3)x－1.
eq \a\vs4\al()
用方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x)．
[跟踪训练]
1．(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2x＋2 B．f(x)＝－2x－2
C．f(x)＝2x－2 D．f(x)＝－2x＋2
解析：选B 设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝0，,b＝－2，))解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故选B.
2．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，求f(x)的解析式．
解：令t＝eq \f(1＋x,x)＝eq \f(1,x)＋1，则x＝eq \f(1,t－1)(t≠1)，
把x＝eq \f(1,t－1)代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，得
f(t)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))\s\up12(2))＋eq \f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
函数图象的变换(探究型)
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝eq \f(1,x＋1)，y＝eq \f(1,－x＋1)，y＝eq \f(－1,x＋1)，y＝－eq \f(1,－x＋1)的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝eq \f(1,x＋1)，②y＝eq \f(1,－x＋1)，③y＝eq \f(－1,x＋1)与④y＝eq \f(－1,－x＋1)的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝eq \f(1,－x＋1)的图象可由y＝eq \f(1,x＋1)的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝eq \f(－1,x＋1)的图象可由y＝eq \f(1,x＋1)的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝eq \f(－1,－x＋1)的图象可由y＝eq \f(1,x＋1)的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x≤－1或x≥3，,－（x2－2x－3），－1y＝x2－2|x|－3＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x≥0，,x2＋2x－3，x<0.))
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．
[迁移应用]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为( )
解析：选A 将变换分为两个过程：f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(对称),\s\d5( ))f(－x)的图象eq \(――→,\s\up7(平移),\s\d5( ))f(－(x－1))的图象．即将函数y＝f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y＝f(－x)的图象，再将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象．
2．作出函数f(x)＝|x2－4x－5|在区间[－2，6]上的图象．
解：先作出二次函数y＝x2－4x－5的图象，再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，保留x轴上及其上方的部分，并保留在区间[－2，6]上的部分，如图所示．
1．(多选)(2021·佛山一中高一月考)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )
解析：选AD 在A、D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系；在B、C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．
2．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)＝( )
A.eq \f(x＋1,x－1) B.eq \f(1－x,1＋x)
C.eq \f(1＋x,1－x) D.eq \f(2x,x＋1)
解析：选B 令eq \f(1－x,1＋x)＝t，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，故f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，即f(x)＝eq \f(1－x,1＋x).
3．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
解析：选A 因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，
所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.
4．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－eq \f(m,x)，得m＝5.
答案：5
5．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝c＝1，,f（1）＝a＋b＋c＝2，,f（2）＝4a＋2b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，,c＝1，))
所以f(x)＝x2＋1.
新课程标准解读
核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用
数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用
数学抽象、数学运算
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
函数的表示法
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面积之和S(cm2)
eq \f(41,8)
eq \f(17,4)
eq \f(29,8)
eq \f(13,4)
eq \f(25,8)
eq \f(13,4)
eq \f(29,8)
eq \f(17,4)
eq \f(41,8)
函数的图象的作法及应用
x
－4
－2
2
4
y
1
－3
2
3
函数解析式的求法