高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质学案设计

指数幂的拓展 指数幂的运算性质

薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t(年)满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．

如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5.

[问题]　这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？

知识点　指数幂及其运算性质

1．正分数指数幂

(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．

(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a；

②a＝．

2．负分数指数幂

给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－＝＝ .

3．0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义．

4．指数幂的运算性质

(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；

(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；

(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．

1．分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．

2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．

3．把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．

4．在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算．　　　　

为什么分数指数幂的底数规定a>0?

提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；

②当a＝0时，a0无意义．

1.可化为(　　)

A．a　　　　　　　 B．a

C．a  D．－a

解析：选A　＝a.

2．3可化为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　3＝＝.

3．计算：×(2)－2＝________．

解析：×(2)－2＝(2－3) ×＝2×＝2×2－3＝21－3＝2－2＝＝.

答案：

4．若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝________，10α－β＝________，10－3α＝________．

解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝(10α)－3＝2－3＝.

答案：6　　

[例1]　(链接教科书第77页习题B组1题)用分数指数幂表示下列各式：

①·(a<0)；

②(b<0)；

③(x≠0)．

[解]　①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)．

②原式＝(－b) ＝(－b)(b<0)．

③原式＝＝＝x (x≠0)．

根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．)　　　　

[跟踪训练]

1．计算 的结果为(　　)

A．8　　　　　　　　　 B．4

C．2  D.

解析：选A　由题意可得 ＝16＝(24)＝23＝8.故选A.

2.用分数指数幂表示为(　　)

A．a  B．a

C．a  D．a

解析：选A　＝＝a＝a，故选A.

[例2]　(链接教科书第78页例1)计算下列各式：

(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；

(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．

[解]　(1)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.

指数幂运算的解题通法

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；

(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；

(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　　　

[跟踪训练]

　计算下列各式(式子中字母都是正数)：

(1)0.027＋－；

(2)÷.

解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.

(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.

[例3]　(链接教科书第80页习题B组3题)已知a＋a＝，求下列各式的值；

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

[解]　(1)将a＋a＝两边平方，

得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.

(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，

∴a2＋a－2＝7.

[母题探究]

(变设问)在本例条件下，则a2－a－2＝________．

解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.

答案：±3

解决条件求值问题的一般方法

对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：

(1)a±2ab＋b＝；

(2)a－b＝；

(3)a＋b＝；

(4)a－b＝.(其中a>0，b>0)．　　　　

[跟踪训练]

　已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．

解：∵x＋y＝12，xy＝9，

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.

∵x<y，∴x－y＝－6.

∴＝

＝＝＝－.

1．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　)

A．a3·a4＝a7  B．(－a2)3＝a6

C.＝a  D.＝－π

解析：选AD　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，(－12)3＝－1，显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确； ＝－π，故D正确．故选A、D.

2．计算：(－27)×9＝(　　)

A．－3  B．－

C．3  D.

解析：选D　(－27)×9＝[(－3)3]×(32) ＝(－3)2×3－3＝9×＝，故选D.

3．若a2x＝－1，则等于(　　)

A．2－1  B．2－2

C．2＋1  D.＋1

解析：选C　＝＝a2x＋a－2x＋1＝－1＋＋1＝2＋1.

4．若10x＝3，10y＝，则102x－y＝________．

解析：102x－y＝＝＝＝3－1＝.

答案：

5．已知＋b＝1，则＝________．

解析：由＋b＝1，得＝32a×31×3＝3＝3.

答案：3