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    2021_2022学年新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3.1对数函数的概念3.2对数函数y=log2x的图象和性质学案北师大版(2019)必修第一册
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    北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念导学案

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念导学案,共7页。


    某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……
    [问题] (1)1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?
    (2)如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,该如何求解x的值呢?



    知识点一 对数函数的概念
    1.对数函数的概念
    函数y=lgax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a叫作对数函数的底数,x是自变量.
    2.对数函数的基本性质
    (1)定义域是(0,+∞);
    (2)图象过定点(1,0).
    3.特殊的对数函数
    (多选)下列函数中为对数函数的是( )
    A.y=lgeq \s\d9(\f(1,2))(-x)
    B.y=2lg4(x-1)
    C.y=ln x
    D.y=lgeq \a\vs4\al((a2+a+2))x(a是常数)
    解析:选CD 对于A,真数是-x,故A不是对数函数;对于B,y=2lg4(x-1)=lg2(x-1),真数是x-1,不是x,故B不是对数函数;对于C,ln x的系数为1,真数是x,故C是对数函数;对于D,底数a2+a+2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(7,4)>1,故D是对数函数.
    知识点二 反函数
    指数函数y=ax是对数函数y=lgax的反函数.对数函数y=lgax也是指数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数.
    eq \a\vs4\al()
    反函数性质的再理解
    (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称;
    (2)反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
    1.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))=________.
    解析:由已知得f(x)=lg x,故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))=lg eq \f(1,100)=lg 10-2=-2.
    答案:-2
    2.对数函数y=-lg2x的反函数是________.
    解析:y=-lg2x=lgeq \a\vs4\al(2-1)x=lgeq \s\d9(\f(1,2))x,故其反函数为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x).
    答案:y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)
    知识点三 对数函数y=lg2x的图象与性质
    1.y=lg2(1-x)的大致图象是( )
    解析:选C y=lg2(-x)与y=lg2x的图象关于y轴对称,又因为y=lg2(1-x)=lg2[-(x-1)],故将y=lg2(-x)的图象向右平移一个单位长度,即得y=lg2(1-x)的图象,故选C.
    2.函数y=eq \f(1,lg2(x-2))的定义域为( )
    A.(-∞,2) B.(2,+∞)
    C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
    解析:选C 要使函数有意义,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2>0,,lg2(x-2)≠0,))
    即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2>0,,x-2≠1,))解得23.
    [例1] (链接教科书第107页例1)(1)(多选)下列函数中,是对数函数的有( )
    A.y=lgax(a∈R) B.y=lg8x
    C.y=ln x D.y=lgx(x+2)
    (2)若对数函数f(x)=lgax的图象过点(2,1),则f(8)=________.
    [解析] (1)形如y=lgax(a>0,且a≠1)的函数即为对数函数,符合此形式的函数表达式有B、C,其他的均不符合.故选B、C.
    (2)依题意知1=lga2,所以a=2,
    所以f(x)=lg2x,故f(8)=lg28=3.
    [答案] (1)BC (2)3
    eq \a\vs4\al()
    判断一个函数是对数函数的依据

    [跟踪训练]
    1.已知f(x)=lg5x,则f(5)=( )
    A.0 B.1
    C.5 D.25
    解析:选B f(5)=lg55=1.
    2.函数f(x)=(a2-a+1)lg(a+1)x是对数函数,则实数a=________.
    解析:a2-a+1=1,解得a=0或1.
    又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
    答案:1
    [例2] (链接教科书第108页例2、例3)求下列函数的反函数:
    (1)y=5x; (2)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(x);
    (3)y=lgeq \s\d9(\f(1,4))x; (4)y=lg7x.
    [解] (1)指数函数y=5x,它的底数是5,它的反函数是对数函数y=lg5x.
    (2)指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(x),它的底数是eq \f(4,5),它的反函数是对数函数y=lgeq \s\d9(\f(4,5))x.
    (3)对数函数y=lgeq \s\d9(\f(1,4))x,它的底数是eq \f(1,4),它的反函数是指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x).
    (4)对数函数y=lg7x,它的底数是7,它的反函数是指数函数y=7x.
    eq \a\vs4\al()
    反函数的求法
    (1)由y=ax(或y=lgax)解得x=lgay(或x=ay);
    (2)将x=lgay(或x=ay)中的x与y互换位置,得y=lgax(或y=ax);
    (3)由y=ax(或y=lgax)的值域,写出y=lgax(或y=ax)的定义域.
    [跟踪训练]
    1.函数y=lg3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )
    A.(0,+∞) B.R
    C.(-∞,0) D.(0,1)
    解析:选A 反函数的值域为原函数的定义域(0,+∞).
    2.求函数y=3x-4(x≥2)的反函数.
    解:∵y=3x-4,∴3x=y+4,∴x=lg3(y+4).
    又∵x≥2,∴3x-4≥5,
    ∴函数y=3x-4(x≥2)的反函数为y=lg3(x+4)(x≥5).
    [例3] (链接教科书第109页例4,第110页例5)(1)函数y=lg2|x+1|的大致图象是( )
    (2)lg2(a2+a+1)与lg2eq \f(3,4)的大小关系为( )
    A.lg2(a2+a+1)≥lg2eq \f(3,4)
    B.lg2(a2+a+1)>lg2eq \f(3,4)
    C.lg2(a2+a+1)≤lg2eq \f(3,4)
    D.lg2(a2+a+1)(3)(多选)已知f(x)=|lg2x|,若f(a)>f(2),则a的值可以是( )
    A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
    C.eq \f(3,2) D.3
    [解析] (1)y=lg2|x|是偶函数,其y轴右侧部分的图象即为y=lg2x的图象,再将y=lg2|x|的图象向左平移一个单位长度,即为y=lg2|x+1|的图象,故选B.
    (2)∵y=lg2x在(0,+∞)上是增函数,而a2+a+1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(3,4)≥eq \f(3,4),∴lg2(a2+a+1)≥lg2eq \f(3,4).
    (3)作出函数f(x)的图象,如图所示,由于f(2)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))),故结合图象可知02.
    [答案] (1)B (2)A (3)ABD
    eq \a\vs4\al()
    解决与y=lg2x图象与性质有关问题的关键
    一是抓住图象变换准确画出相关函数图象;
    二是充分利用其性质去求解.
    [跟踪训练]
    1.已知函数y=lg2(1-x)的值域为(-∞,0),则其定义域是( )
    A.(-∞,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
    C.(0,1) D.(1,+∞)
    解析:选C ∵函数y=lg2(1-x)的值域为(-∞,0),∴0<1-x<1,即-12.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x,x>0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x),x≤0,))则不等式f(x)≤1的解集为________.
    解析:因为函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x,x>0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x),x≤0,))所以若不等式f(x)≤1,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,,lg2x≤1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)≤1,))解得0≤x≤2,所以原不等式的解集为{x|0≤x≤2}.
    答案:{x|0≤x≤2}
    1.下列函数是对数函数的是( )
    A.y=lga(2x) B.y=lg22x
    C.y=lg2x+1 D.y=lg x
    解析:选D 选项A、B、C中的函数都不具有“y=lgax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D选项符合.
    2.函数y=lga(x+2)+1的图象过定点( )
    A.(1,2) B.(2,1)
    C.(-2,1) D.(-1,1)
    解析:选D 令x+2=1,即x=-1,得y=lga1+1=1,故函数y=lga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
    3.函数f(x)=lg2|2x-4|的图象为( )
    解析:选A 函数f(x)=lg2|2x-4|的图象可以看作是将函数y=lg2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的,故选A.
    4.为了得到y=lg2 eq \f(x,2)的图象只需将y=lg2x的图象____________________.
    解析:y=lg2 eq \f(x,2)=lg2x-1.
    答案:向下平移一个单位长度
    5.已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),则a=________,b=________.
    解析:由函数y=ax+b的图象过点(1,4),得a+b=4;由反函数的图象过点(2,0)知,原函数的图象过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.
    答案:3 1
    新课程标准解读
    核心素养
    1.通过具体实例,了解对数函数的概念,了解反函数概念
    数学抽象
    2.能用描点法或借助计算机工具画出y=lg2x的图象,掌握其性质并会应用
    直观想象、数学抽象
    常用对数函数
    以10为底的对数函数y=lg_x
    自然对数函数
    以无理数e为底的对数函数y=ln_x
    函数
    y=lg2x
    图象


    定义域
    (0,+∞)
    值域
    R
    单调性
    在(0,+∞)上是增函数
    对数函数的概念
    求函数的反函数
    函数y=lg2x的图象与性质
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