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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样学案设计
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样学案设计，共7页。
某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数分别为：很喜欢4 800人，喜欢3 600人，一般1 800人，不喜欢1 800人．电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从这12 000人中抽取60人进行更为详细的调查．
[问题] 你认为应采取什么样的抽样方法呢？
知识点 分层随机抽样
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．
eq \a\vs4\al()
关于分层随机抽样应注意的问题
(1)分层随机抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间样本的差异要大，且互不重叠；
(2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到；
(3)各层抽样可以按简单随机抽样进行．
如何理解“在每个类型中按照所占比例”？
提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么eq \f(a,x)＝eq \f(b,y)＝eq \f(c,z)＝eq \f(n,N).
1．某地区的高一新生中，来自东部地区的学生有2 400人，中部地区的学生有1 600人，西部地区的学生有1 000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．按性别分层随机抽样
C．随机数法 D．按地区分层随机抽样
解析：选D 由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层随机抽样．故选D.
2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，拟采用分层随机抽样的方法从他们中抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( )
A．7，11，18B．6，12，18
C．6，13，17 D．7，14，21
解析：选D 由题意，该单位老年人、中年人、青年人的人数比为1∶2∶3.由分层随机抽样的特点知，老年人应抽取的人数为eq \f(1,6)×42＝7，中年人应抽取的人数为eq \f(2,6)×42＝14，青年人应抽取的人数为eq \f(3,6)×42＝21，故选D.
3．为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是________．
解析：这次抽样调查抽取的总人数是eq \f(100,\f(700,840＋700＋560))＝300.
答案：300
[例1] 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
[解析] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取；
(2)遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比．
[跟踪训练]
某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．简单随机抽样法
C．分层随机抽样法 D．随机数法
解析：选C 总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样．故选C.
[例2] (链接教科书第156页例3)一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
[解析] 因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又总体中每个个体被抽到的概率相等，所以分层随机抽样应从C中抽取100×eq \f(2,10)＝20个个体．
[答案] 20
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若把本例个体数之比改为2∶3∶4，现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A层中的个体数为16，那么此样本容量为n＝________．
解析：由于A层中的样本数为16，A层中的个体所占的比例为eq \f(2,2＋3＋4)，故样本容量n＝16÷eq \f(2,2＋3＋4)＝72.
答案：72
2．(变设问)若本例中的条件不变，问应从A中抽取多少个个体？
解：因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，
又总体中每个个体被抽到的概率相等，
所以分层随机抽样应从A中抽取100×eq \f(5,10)＝50个个体．
eq \a\vs4\al()
1．一个总体中有N个个体，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若第i层的个体数为Ni，则第i层被抽取的个体数ni＝eq \f(n,N)·Ni.等式中含有四个量，已知其中任意三个量，就能求出第四个量．
2．在分层随机抽样中，注意以下关系：
(1)eq \f(样本量n,总体容量N)＝eq \f(该层抽取的个体数ni,该层的个体数Ni)；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
[跟踪训练]
1．一支田径队有男运动员63人，女运动员45人，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为24的样本，则样本中女运动员人数是( )
A．14 B．12
C．10 D．8
解析：选C 由题知样本中女运动员人数是24×eq \f(45,45＋63)＝10.故选C.
2．某林场共有白猫与黑猫1 000只，其中白猫比黑猫多400只，为调查猫的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中黑猫有6只，则n＝________．
解析：由题意，白猫、黑猫分别有700，300只，由分层随机抽样的特点，得eq \f(n,1 000)＝eq \f(6,300)，解得n＝20.
答案：20
[例3] (链接教科书第156页例4，157页例5)有以下两个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况．
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层随机抽样案例中写出抽样过程．
[解] (1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样．
(2)①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层；
②确定抽样比q＝eq \f(40,800)＝eq \f(1,20)；
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6；
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本；
⑤汇总构成一个容量为40的样本．
eq \a\vs4\al()
分层随机抽样实施的五个步骤
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算eq \f(样本量,总体容量)；
(3)利用eq \f(样本量,总体容量)乘每层的个体数量确定每层抽取的个体数；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总成总样本．
[跟踪训练]
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
解：采用分层随机抽样的方法，抽样比为eq \f(60,12 000)＝eq \f(1,200).
持“很喜爱”态度的有2 435人，应抽取2 435×eq \f(1,200)≈12(人)；
持“喜爱”态度的有4 567人，应抽取4 567×eq \f(1,200)≈23(人)；
持“一般”态度的有3 926人，应抽取3 926×eq \f(1,200)≈20(人)；
持“不喜爱”态度的有1 072人，应抽取1 072×eq \f(1,200)≈5(人)．
因此，采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人．
1．(多选)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是( )
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验；
②在一次诗词朗读比赛中，有10人的成绩在91～100分，40人的成绩在81～90分，10人的成绩低于80分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
解析：选CD ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层随机抽样的方法；②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层随机抽样的方法；③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，适合用简单随机抽样，故选C、D.
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区进行调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区采用分层随机抽样的方法抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B 由题意，得eq \f(96,N)＝eq \f(12,12＋21＋25＋43)，解得N＝808.
3．已知A，B，C三个社区的居民人数分别为600，1 200，1 500，现从中抽取一个样本量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则n＝( )
A．33 B．18
C．27 D．21
解析：选A 由题意，知应采用分层随机抽样的方法，则eq \f(n,600＋1 200＋1 500)＝eq \f(15,1 500)，解得n＝33.故选A.
4.某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层随机抽样的方法抽取工作人员进行薪资情况调查．若管理人员抽取了6人，则抽到的讲师人数为________．
解析：由题意，设抽到的讲师人数为x，则eq \f(x,6)＝eq \f(30%,20%)，解得x＝9.
答案：9
新课程标准解读
核心素养
1.理解分层随机抽样的概念
数学抽象
2.掌握分层随机抽样的步骤，会利用分层随机抽样从总体中抽取样本
数学运算
3.能解决分层随机抽样中的计算问题
数学运算
4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题
数学抽象
分层随机抽样的概念
分层随机抽样中的相关计算问题
分层抽样方案设计
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2 435
4 567
3 926
1 072
某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数分别为：很喜欢4 800人，喜欢3 600人，一般1 800人，不喜欢1 800人．电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从这12 000人中抽取60人进行更为详细的调查．
[问题] 你认为应采取什么样的抽样方法呢？
知识点 分层随机抽样
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．
eq \a\vs4\al()
关于分层随机抽样应注意的问题
(1)分层随机抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间样本的差异要大，且互不重叠；
(2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到；
(3)各层抽样可以按简单随机抽样进行．
如何理解“在每个类型中按照所占比例”？
提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么eq \f(a,x)＝eq \f(b,y)＝eq \f(c,z)＝eq \f(n,N).
1．某地区的高一新生中，来自东部地区的学生有2 400人，中部地区的学生有1 600人，西部地区的学生有1 000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．按性别分层随机抽样
C．随机数法 D．按地区分层随机抽样
解析：选D 由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层随机抽样．故选D.
2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，拟采用分层随机抽样的方法从他们中抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( )
A．7，11，18B．6，12，18
C．6，13，17 D．7，14，21
解析：选D 由题意，该单位老年人、中年人、青年人的人数比为1∶2∶3.由分层随机抽样的特点知，老年人应抽取的人数为eq \f(1,6)×42＝7，中年人应抽取的人数为eq \f(2,6)×42＝14，青年人应抽取的人数为eq \f(3,6)×42＝21，故选D.
3．为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是________．
解析：这次抽样调查抽取的总人数是eq \f(100,\f(700,840＋700＋560))＝300.
答案：300
[例1] 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
[解析] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取；
(2)遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比．
[跟踪训练]
某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．简单随机抽样法
C．分层随机抽样法 D．随机数法
解析：选C 总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样．故选C.
[例2] (链接教科书第156页例3)一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
[解析] 因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又总体中每个个体被抽到的概率相等，所以分层随机抽样应从C中抽取100×eq \f(2,10)＝20个个体．
[答案] 20
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若把本例个体数之比改为2∶3∶4，现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A层中的个体数为16，那么此样本容量为n＝________．
解析：由于A层中的样本数为16，A层中的个体所占的比例为eq \f(2,2＋3＋4)，故样本容量n＝16÷eq \f(2,2＋3＋4)＝72.
答案：72
2．(变设问)若本例中的条件不变，问应从A中抽取多少个个体？
解：因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，
又总体中每个个体被抽到的概率相等，
所以分层随机抽样应从A中抽取100×eq \f(5,10)＝50个个体．
eq \a\vs4\al()
1．一个总体中有N个个体，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若第i层的个体数为Ni，则第i层被抽取的个体数ni＝eq \f(n,N)·Ni.等式中含有四个量，已知其中任意三个量，就能求出第四个量．
2．在分层随机抽样中，注意以下关系：
(1)eq \f(样本量n,总体容量N)＝eq \f(该层抽取的个体数ni,该层的个体数Ni)；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
[跟踪训练]
1．一支田径队有男运动员63人，女运动员45人，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为24的样本，则样本中女运动员人数是( )
A．14 B．12
C．10 D．8
解析：选C 由题知样本中女运动员人数是24×eq \f(45,45＋63)＝10.故选C.
2．某林场共有白猫与黑猫1 000只，其中白猫比黑猫多400只，为调查猫的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中黑猫有6只，则n＝________．
解析：由题意，白猫、黑猫分别有700，300只，由分层随机抽样的特点，得eq \f(n,1 000)＝eq \f(6,300)，解得n＝20.
答案：20
[例3] (链接教科书第156页例4，157页例5)有以下两个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况．
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层随机抽样案例中写出抽样过程．
[解] (1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样．
(2)①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层；
②确定抽样比q＝eq \f(40,800)＝eq \f(1,20)；
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6；
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本；
⑤汇总构成一个容量为40的样本．
eq \a\vs4\al()
分层随机抽样实施的五个步骤
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算eq \f(样本量,总体容量)；
(3)利用eq \f(样本量,总体容量)乘每层的个体数量确定每层抽取的个体数；
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；
(5)最后将每一层抽取的样本汇总成总样本．
[跟踪训练]
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
解：采用分层随机抽样的方法，抽样比为eq \f(60,12 000)＝eq \f(1,200).
持“很喜爱”态度的有2 435人，应抽取2 435×eq \f(1,200)≈12(人)；
持“喜爱”态度的有4 567人，应抽取4 567×eq \f(1,200)≈23(人)；
持“一般”态度的有3 926人，应抽取3 926×eq \f(1,200)≈20(人)；
持“不喜爱”态度的有1 072人，应抽取1 072×eq \f(1,200)≈5(人)．
因此，采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人．
1．(多选)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是( )
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验；
②在一次诗词朗读比赛中，有10人的成绩在91～100分，40人的成绩在81～90分，10人的成绩低于80分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
解析：选CD ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层随机抽样的方法；②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层随机抽样的方法；③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，适合用简单随机抽样，故选C、D.
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区进行调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区采用分层随机抽样的方法抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B 由题意，得eq \f(96,N)＝eq \f(12,12＋21＋25＋43)，解得N＝808.
3．已知A，B，C三个社区的居民人数分别为600，1 200，1 500，现从中抽取一个样本量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则n＝( )
A．33 B．18
C．27 D．21
解析：选A 由题意，知应采用分层随机抽样的方法，则eq \f(n,600＋1 200＋1 500)＝eq \f(15,1 500)，解得n＝33.故选A.
4.某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层随机抽样的方法抽取工作人员进行薪资情况调查．若管理人员抽取了6人，则抽到的讲师人数为________．
解析：由题意，设抽到的讲师人数为x，则eq \f(x,6)＝eq \f(30%,20%)，解得x＝9.
答案：9
新课程标准解读
核心素养
1.理解分层随机抽样的概念
数学抽象
2.掌握分层随机抽样的步骤，会利用分层随机抽样从总体中抽取样本
数学运算
3.能解决分层随机抽样中的计算问题
数学运算
4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题
数学抽象
分层随机抽样的概念
分层随机抽样中的相关计算问题
分层抽样方案设计
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2 435
4 567
3 926
1 072
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