高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念教案及反思

第六章 平面向量及其应用

6.1  平面向量的概念

一、教学目标

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

三、课前准备

1.了解物理学中的矢量和标量；

2.了解有向线段的定义

四、教学过程

1、情景引入

一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离,产生了一段位移,距离和位移一样吗？

【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量,距离和位移不一定一样.m

2、探索新知

（1）向量的实际背景与概念

问题1：位移与距离这两个量有什么区别？

【答案】距离只有大小,是标量；位移既有大小，又有方向,是矢量，。

向量与数量的定义：

    只有大小，没有方向的量叫做数量(在物理学中称为标量).既有大小，又有方向的量叫做向量(在物理学中称为矢量);

  注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的.

练习：判断下列量不是向量的选项是（       ）

A.距离   B. 速度   C.力      D.密度

 【答案】选AD

（2）向量的表示

问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向量是如何表示呢？

有向线段的定义

以A为起点，B为终点，则线段AB具有方向，把这样具有方向的线段AB叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作   .

线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .

问题:一条有向线段由哪些要素所确定？

【答案】起点、方向、长度.

向量的几何表示

（1）几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；

①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：、、；（印刷用a，书写用）

注意：

用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中的向量具有自由性.

4.向量的模

向量的大小称为向量的长度（或模），记作或记作。

思考：向量的模的取值范围?

【答案】非负数。

5.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.

思考：与0的含义与书写区别.

单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

【答案】以原点为圆心，1为半径的圆

注意：（1）零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）向量是不能比较大小的,但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.

（三）.相等向量与共线向量

1.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

思考：若//，//，则//？

【答案】若=时，则//不成立

2.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）零向量与零向量相等,但是两个单位向量不一定相等;（3）向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.

3.共线向量与平行向量关系：

如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量.

巩固训练：填空：（对下列选项对的打√ 错的×）

（1）平行向量一定方向相同（     ）

（2）不相等的向量一定不平行（       ）

（3）与零向量相等的向量必定是零向量？（      ）

（4）与任意向量都平行的向量是零向量？（      ）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（       ）

（6）两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（        ）

（7）共线向量一定在同一直线上 （      ）

【答案】（1）× （2）×   (3）√ （4）√（5）√（6）√（7）×

例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.

例2.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可．

解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，

所以每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与相等的向量共有5个，如图1；

（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2．

点睛:本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和数形结合思想．

五、课堂小结

1．向量的概念；

2．向量的表示：代数表示、几何表示；

3．研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量；

方向：共线向量、平行向量；

大小与方向：相等向量、相反向量

4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对的讨论）。

六、课后作业

习题6.1   2,3题

六、课后反思

本节课是“平面向量及其应用”的起始课,依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面:

(1)通过平面向量的概念形成,让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征;

(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。