高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性教学设计

第十章 概率

10.2事件的相互独立性

一、教学目标

1.理解两个事件相互独立的概念；

2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算；

3.通过对实例的分析，会进行简单的应用；

4.通过对事件的相互独立性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.独立事件同时发生的概率．

2.有关独立事件发生的概率计算

三、教学过程：

（1）创设情景

抛掷一枚质地均匀的硬币两次。

问：在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

（2）新知探究

问题1:第一次出现正面向上发生与否会影响第二次出现正面向上发生的概率吗？

学生回答，老师点拨并提出本节课所学内容

（3）新知建构

相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.

注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.

（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

（4）数学运用

例1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（    ）

A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等

【答案】C

【解析】根据题意，事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，

两个事件可以同时发生，也可以都不发生，

事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件，故选：．

变式训练1:一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（    ）

A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 

B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 

C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 

D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球

【答案】C

【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，

对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，

对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，

对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，

对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．

变式训练2:（多选）下列各对事件中,为相互独立事件的是（    ）

A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”

【答案】ABD

【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，

∴，，，

即，故事件M与N相互独立，故A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故B正确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D正确.    故选：ABD.

例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.

【答案】（1）0.72  （2）0.26  （3）0.02  （4）0.98

【解析】设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立

由已知可得,.

（1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义

得

（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

（3）事件“两人都脱靶”,

所以

（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,

所以

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为

变式训练:为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.

【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则

“甲赢得比赛”，.

“乙赢得比赛”，.

因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.

（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，

则；

.

于是“两人中至少有一人赢得比赛”

.

例3:小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；

（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.

（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为.

（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.

（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为

.

变式训练:甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：

（Ⅰ）两人都投中；

（Ⅱ）恰好有一人投中；

（Ⅲ）至少有一人投中.

【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.

【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以与相互独立，与，与，与都相互独立，

由己知可得，，则，；

（Ⅰ）“两人都投中”，则；

（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，

则

；

（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，

所以

.

四、小结：

相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.

注意：（1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.

（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

五、作业：习题10.2