人教版 (2019)选择性必修 第一册第一章 动量守恒定律综合与测试学案设计

这是一份人教版 (2019)选择性必修 第一册第一章 动量守恒定律综合与测试学案设计，共10页。

1．知道子弹打木块问题的特点及所遵循的规律。
2．了解含弹簧的碰撞问题在碰撞瞬间弹簧的形变特点及之后的相互作用过程中能量的转化规律。
3．理解动量守恒问题中的临界问题及对应的临界条件。
[要点归纳]
1．模型特点
如图所示，子弹以某一初速度射入放在光滑水平面上的静止木块，子弹可能留在木块中(未穿出)，也可能穿出木块。
2．基本规律
(1)动量守恒：子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒。
(2)机械能不守恒：在子弹打木块过程中伴随摩擦生热，系统的机械能不守恒，损失的机械能转化为内能。且子弹未穿出木块时二者最后有共同速度，机械能损失最多。
3．主要关系
(1)子弹留在木块中(未穿出)
①动量守恒：mv0＝(m＋M)v。
②机械能的损失(摩擦生热)
Q热＝Ffd＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2
其中d为子弹射入木块的深度。
(2)子弹穿出木块
①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2。
②机械能的损失(摩擦生热)
Q热＝FfL＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22
其中L为木块的长度，注意d≤L。
[例题1] 一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为Ff。则：
(1)子弹、木块的共同速度是多少？
(2)过程中的摩擦生热是多少？
(3)子弹在木块内运动的时间为多长？
(4)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？
[解析] (1)设子弹、木块的共同速度为v，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝(M＋m)v
解得v＝eq \f(m,M＋m) v0。
(2)过程中的摩擦生热为
Q热＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝eq \f(Mm,2M＋m)v02。
(3)设子弹在木块内运动的时间为t，对木块由动量定理得
Fft＝Mv－0
解得t＝eq \f(Mmv0,FfM＋m)。
(4)设子弹、木块发生的位移分别为x1、x2，如图所示，由动能定理
对子弹有－Ffx1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02
解得x1＝eq \f(MmM＋2mv02,2FfM＋m2)
对木块有Ffx2＝eq \f(1,2)Mv2
解得x2＝eq \f(Mm2v02,2FfM＋m2)
子弹打进木块的深度等于相对位移，即x相＝x1－x2＝eq \f(Mmv02,2FfM＋m)。
[答案] (1)eq \f(m,M＋m)v0 (2)eq \f(Mm,2M＋m)v02
(3)eq \f(Mmv0,FfM＋m) (4)eq \f(MmM＋2mv02,2FfM＋m2) eq \f(Mm2v02,2FfM＋m2) eq \f(Mmv02,2FfM＋m)
(1)弄清楚子弹是最终停留在木块中，与木块一起运动；还是穿透木块后各自运动。
(2)对子弹打击木块过程中损失的机械能，根据题目条件通过打击前、后系统的机械能之差计算，或利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。
[针对训练]
1.如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是( )
A．子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功大于木块动能的增量
解析：选B 子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律知子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，故A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量大小相等，方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为Ffs，摩擦力对子弹做的功为－Ff(s＋d)，可知二者不等，故C错误；对木块根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，等于木块动能的增量，故D错误。
2.[多选]如图所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块后不再穿出，此时木块动能增加了6 J，那么此过程产生的内能可能为( )
A．10 J B．3 J
C．6 JD．4 J
解析：选A 设子弹的初速度为v0，射入木块后子弹与木块共同的速度为v，木块的质量为M，子弹的质量为m。根据动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，得v＝eq \f(mv0,m＋M)。
木块获得的动能为ΔEk＝eq \f(1,2)Mv2＝eq \f(Mm2v02,2M＋m2)＝eq \f(Mmv02,2M＋m)·eq \f(m,M＋m)，系统产生的内能为Q＝ eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝eq \f(Mmv02,2M＋m)，可得Q＞ΔEk＝6 J，故A正确。
3.如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的两矩形滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍。上述两种射入过程相比较( )
A．射入滑块A的子弹速度变化大
B．整个射入过程中两滑块受的冲量一样大
C．两个过程中系统产生的热量不同
D．射入滑块A中时阻力对子弹做的功是射入滑块B中时的两倍
解析：选B 设子弹的初速度为v，子弹和滑块的共同速度为v′，则根据动量守恒定律，有mv＝(M＋m)v′，解得v′＝eq \f(mv,M＋m)，由于两矩形滑块A、B的质量相同，故两种情况中最后子弹与滑块的速度都是相同的，子弹速度变化相同，故A错误；滑块A、B的质量相同，初速度均为零，末速度均为eq \f(mv,M＋m)，故动量变化量相等，根据动量定理可知，整个射入过程中两滑块受的冲量一样大，故B正确；根据能量守恒定律，两个过程中系统产生的热量等于系统减小的机械能，则两个过程中系统产生的热量相同，故C错误；根据动能定理，射入滑块中时阻力对子弹做的功等于子弹动能的变化量，则射入滑块A中时阻力对子弹做的功等于射入滑块B中时阻力对子弹做的功，故D错误。
[要点归纳]
对于含弹簧系统的相互作用问题，一般情况下满足动量守恒定律和机械能守恒定律，此类问题的一般解法：
(1)首先判断弹簧的初始状态是处于原长、伸长还是压缩状态；
(2)分析作用前、后弹簧和物体的运动状态，依据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程；
(3)判断解出的结果的合理性；
(4)由于弹簧的弹力是变力，所以弹簧的弹性势能通常利用机械能守恒定律或能量守恒定律求解；
(5)要特别注意弹簧的三个状态：原长(此时弹簧的弹性势能为零)、压缩到最短或伸长到最长的状态(此时弹簧与连接的物体具有共同的瞬时速度，弹簧具有最大的弹性势能)，这往往是解决此类问题的关键点。
[例题2] 如图所示，一块质量为M的长木板停在光滑的水平面上，长木板的左端有挡板，挡板上固定一个水平轻质小弹簧。一个质量为m的小物块(可视为质点)以水平速度v0从长木板的最右端开始向左运动，与弹簧发生相互作用后(弹簧始终处于弹性限度内)，最终又恰好相对静止在长木板的最右端。以下说法正确的是( )
A．物块的最终速度为eq \f(1,2)v0
B．长木板的最终速度为v0
C．弹簧的最大弹性势能为eq \f(Mmv02,2M＋m)
D．长木板和小物块组成的系统最终损失的机械能为eq \f(Mmv02,2M＋m)
[解析] 小物块从开始位置滑动到最后相对长木板静止的过程，小物块与长木板组成的系统动量守恒，以v0的方向为正方向，则有mv0＝(m＋M)v2，解得v2＝eq \f(mv0,m＋M)，故A、B错误；小物块从开始位置滑动到最左端的过程，小物块与长木板组成的系统动量守恒，则有mv0＝ (m＋M)v1，解得v1＝eq \f(mv0,m＋M)，由能量守恒定律得Epm＋Q＋eq \f(1,2)(m＋M)v12＝eq \f(1,2)mv02，其中Q＝FfL，小物块从开始位置滑动到最右端的过程中，由能量守恒定律，得Q′＋eq \f(1,2)(m＋M)v22＝eq \f(1,2)mv02，其中Q′＝Ff(2L)，联立解得Epm＝eq \f(Mmv02,4M＋m)，Q′＝eq \f(Mmv02,2M＋m)，即弹簧的最大弹性势能为Epm＝eq \f(Mmv02,4M＋m)，系统损失的机械能为ΔE＝Q′＝eq \f(Mmv02,2M＋m)，故C错误，D正确。
[答案] D
弹簧是高中物理常见的模型，一般与几个物体连在一起构成一个复杂的系统，解决此类问题的关键是真正理解动量守恒定律和机械能守恒定律的适用条件及其区别，须注意以下几个方面：
(1)研究对象的选取——应取哪几个物体组成的系统为研究对象，因为看不到系统就看不到守恒。
(2)物理过程的选取——必须明确系统在哪一个过程中哪一个物理量是守恒的，尤其不能忽视短暂的相关过程，因为可能会有机械能的损失。
(3)分析临界状态或极值状态——通过分析碰撞过程找出有用的特殊状态及其条件。
[针对训练]
1.如图所示，木块A、B的质量均为2 kg，置于光滑水平面上，B与一轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A以4 m/s的速度向B撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为( )
A．4 JB．8 J
C．16 J D．32 J
解析：选B A、B在碰撞过程中动量守恒，碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中A、B与弹簧组成的系统的机械能守恒。由碰撞过程中动量守恒得mAvA＝(mA＋mB)v，代入数据解得v＝eq \f(mAvA,mA＋mB)＝2 m/s，所以碰后A、B及弹簧组成的系统的机械能为eq \f(1,2)(mA＋mB)v2＝8 J，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能为0，只有弹性势能，由机械能守恒定律得此时弹簧的弹性势能为8 J。
2.如图所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )
A．eq \f(mv02,400)B．eq \f(mv02,200)
C．eq \f(99mv02,200)D．eq \f(199mv02,400)
解析：选A 子弹打入木块A，因水平面光滑，竖直方向所受合力为0，由动量守恒定律得mv0＝100mv1；对子弹和木块A、B组成的系统，当它们速度相同时，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，由动量守恒定律得mv0＝200mv2，弹簧弹性势能的最大值Ep＝eq \f(1,2)×100mv12－ eq \f(1,2)×200mv22＝eq \f(mv02,400)，故选项A正确。
3.如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
解析：(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv1＝2mv2②
eq \f(1,2)mv12＝ΔE＋eq \f(1,2)×2mv22③
联立①②③式解得ΔE＝eq \f(1,16)mv02。④
(2)由②式可知，v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv0＝3mv3⑤
eq \f(1,2)mv02－ΔE＝eq \f(1,2)×3mv32＋Ep⑥
联立④⑤⑥式解得Ep＝eq \f(13,48)mv02。
答案：(1)eq \f(1,16)mv02 (2)eq \f(13,48)mv02
[要点归纳]
1．在动量守恒定律的应用中，常常会遇到临界问题，例如：相互作用的两物体相距最远或最近、恰好避免相碰、物体的速度刚好反向等问题。
这类问题的求解关键是充分利用反证法、极限法分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运用动量守恒定律进行解答。
2．常见临界问题的类型
(1)涉及弹簧类的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短或拉伸到最长时，弹簧两端的两个物体的瞬时速度必然相等。
(2)涉及相互作用边界的临界问题
在物体滑上放在光滑水平面上的斜(曲)面体的过程中，由于物体间弹力的作用，斜(曲)面体在水平方向上将做加速运动，物体滑到斜(曲)面体上最高点的临界条件是物体与斜(曲)面体沿水平方向具有共同的速度，物体到达斜(曲)面体上最高点时，在竖直方向上的分速度等于零。
(3)子弹打木块类的临界问题
子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同，子弹位移为木块位移与木块厚度之和。
(4)两物体恰好不相撞
临界条件是两物体接触时速度恰好相等。
[例题3] 在光滑水平面上静置有质量为m的滑板，上表面光滑，AB水平，BC为eq \f(1,4)圆弧，圆弧底端切线水平，如图所示。一可视为质点的物块P，质量也为m，从滑板的右端以初速度v0滑上滑板，最终恰好能滑到圆弧的最高点C处 ，求：
(1)物块滑到C处时的速度v；
(2)圆弧的半径R；
(3)滑块刚滑上圆弧时，水平面对滑板的支持力大小。
[解析] 因物块刚好能滑到C处，则此时滑板和物块具有相同的速度。
(1)物块由A到C时，取向左为正方向，由动量守恒定律有mv0＝2mv，得v＝eq \f(v0,2)。
(2)物块由A到C时 ，根据机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mv02＝mgR＋eq \f(1,2)×2mv2，得R＝eq \f(v02,4g)。
(3)滑块刚滑上圆弧时，设在B点滑板对滑块的支持力为FNB，由牛顿第二定律得FNB－mg＝meq \f(v02,R)
则FNB＝5mg
结合牛顿第三定律分析可知，此时水平面对滑板的支持力大小为FN＝FNB＋mg＝6mg。
[答案] (1)eq \f(v0,2) (2)eq \f(v02,4g) (3)6mg
解决动量守恒中的临界问题的关键
(1)寻找临界状态：题设情境中看是否有相互作用的两物体相距最近、恰好滑离、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态。
(2)挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系。
[针对训练]
1．如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得( )
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s且弹簧都是处于压缩状态
B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶2
D．在t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶2
解析：选C 由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，总动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，t3时刻弹簧处于伸长状态，故A错误；结合题图乙可知两物块的运动过程，开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，所以弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；系统动量守恒，从t＝0开始到t1时刻有m1v1＝(m1＋m2)v2，将v1＝3 m/s，v2＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C正确；在t2时刻，m1的速度为v1′＝－1 m/s，m2的速度为v2′＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝1∶4，故D错误。
2.如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为v0＝6.0 m/s。甲乘坐的车上有质量m＝1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球总质量M1＝50 kg，乙和他的车总质量M2＝30 kg，甲不断地将小球一个一个地以v＝16.5 m/s的水平速度(相对于地面)抛向乙，并被乙接住。则甲至少要抛出多少个球，才能保证两车不会相碰？
解析：由于每次抛出的小球对地速度相同，故可等效为一次抛出，注意到甲、乙速度相同时抛球个数最少，则有
M1v0－M2v0＝(M1＋M2)v共，解得v共＝1.5 m/s
又对甲(含甲乘坐的小车)和被抛出的球有
M1v0＝(M1－nm)v共＋nmv，代入数据可得n＝15。
答案：15
1.矩形滑块由不同材料的上、下两层粘在一起，将其放在光滑水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若子弹击中上层，子弹刚好不穿出，若子弹击中下层，则子弹整个刚好嵌入，由此可知( )
A．子弹射中上层时对滑块做功多
B．两次子弹对滑块做的功不同
C．子弹射中上层系统产生热量多
D．子弹与下层之间的摩擦力较大
解析：选D 两次射击，子弹与滑块都满足动量守恒，之后滑块与子弹以相同的速度共同运动，可知滑块动能增加量相同，即两次射击子弹对滑块做功一样多，选项A、B错误；系统损失机械能也一样多，故产生热量也一样多，选项C错误；产生的热量等于摩擦力和子弹与滑块相对位移的乘积，由子弹进入滑块的深度可知子弹与下层之间的摩擦力较大，选项D正确。
2.如图所示，P物体以速度v与一个连着弹簧的Q物体发生正碰，碰后P物体静止，Q物体以P物体碰前的速度v离开。已知P与Q质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列结论中正确的是( )
A．P的速度恰好为零
B．P与Q具有相同的速度
C．Q刚开始运动
D．Q的速度等于v
解析：选B P接触弹簧后，在弹簧弹力的作用下，P做减速运动，Q做加速运动，P、Q间的距离减小，当P、Q速度相等时，弹簧被压缩到最短，B正确，A、C错误；由于两物体组成的系统在运动过程中动量守恒，设速度相同时的共同速度为v′，则mv＝(m＋m)v′，所以弹簧被压缩至最短时，P、Q的速度v′＝eq \f(v,2)，D错误。
3．质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性碰撞，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A.eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(mM,m＋M)v2
C.eq \f(1,2)NμmgL D．NμmgL
解析：选D 根据动量守恒定律，小物块和箱子的共同速度v′＝eq \f(mv,M＋m)，损失的动能ΔEk＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2＝eq \f(mM,2m＋M)v2，故B错误；根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，所以ΔEk＝FfNL＝NμmgL，故D正确。
4．如图所示，小车的上面固定一个光滑弯曲管道，整个小车(含管道)的质量为2m，原来静止在光滑的水平面上。今有一个可以看作质点的小球，质量为m，半径略小于管道半径，以水平速度v从左端滑上小车，小球恰好能到达管道的最高点，然后从管道左端滑离小车，关于这个过程，下列说法正确的是( )
A．小球滑离小车时，小车回到原来位置
B．小球滑离小车时相对小车的速度大小为v
C．车上管道中心线最高点距小车上表面的竖直高度为eq \f(v2,5g)
D．小球在滑上小车到管道最高点的过程中，小车的动量变化大小是eq \f(mv,2)
解析：选B 小球恰好到达管道的最高点，说明在最高点时小球和轨道之间相对速度为0，则小球和小车组成的系统水平方向动量守恒，由mv＝(m＋2m)v′，得v′＝eq \f(v,3)，
Δp车＝2m·eq \f(v,3)＝eq \f(2,3)mv，D项错误；由功能关系知mgH＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)×3mv′2，得H＝eq \f(v2,3g)，C项错误；小球滑离小车时，有mv＝mv1＋2mv2，eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mv12＋eq \f(1,2)×2mv22，解得v1＝－eq \f(v,3)，v2＝eq \f(2,3)v，小球相对小车的速度Δv＝v1－v2＝－v，B项正确；在整个过程中小车一直向右运动， A项错误。
子弹打木块问题
含弹簧系统的动量与能量问题
动量守恒中的临界问题