数学必修 第二册10.2 事件的相互独立性导学案

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10.2  事件的相互独立性（精讲）考法一 相互独立事件的判断【例1】（多选）（2021·全国专题练习）下列各对事件中,不是相互独立事件的有(    )A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,故选：ACD【一隅三反】1．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列各对事件中,为相互独立事件的是(    )A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.2．（2021·河南）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（    ）A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数【答案】D【解析】从1,2,3,4,5中任取两个数对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.综上可知,D为正确选项故选:D 考法二 利用概率判断互斥对立事件【例2】（2021·山东泰安市）在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（    ）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故D正确.故选：D.【一隅三反】1．（2020·陕西省商丹高新学校）在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（    ）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故C错；与是互斥事件，且，所以与也是对立事件，故D正确.故选：D.2．（2020·江苏淮安市·马坝高中高一期中）已知随机事件和互斥，且，，则（  ）A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8【答案】A【解析】因为事件和互斥，所以,则，故.故答案为A.考法三 相互独立事件概率计算【例3】（2021·山东菏泽市）甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】用事件A,B,C分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则,,,且.∴此密码能被译出的概率为.故选：C【一隅三反】1．（2021·辽宁营口市·高一期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.【答案】（1）0.42；（2）0.46.【解析】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，由题意可知，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥 所以.2．（2021·山东威海市·高一期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人， 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.（3）由频率分布直方图可得，，估计市民心理健康问卷调查的平均评分为， 所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立，由己知可得，，则，；（Ⅰ）“两人都投中”，则；（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，则；（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，所以.