2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）（含答案)

这是一份2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）（含答案)，共20页。试卷主要包含了5)的观测值，1，则，【答案】B，【答案】C，5，加入数据后，中位数为176等内容，欢迎下载使用。
 2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科） 复数z满足，则复数A.  B.  C.  D. 已知集合，，则等于A.  B.  C.  D. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物的观测值：
396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是A. 极差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则等差数列的前n项和为，已知，，则A. 3 B.  C. 5 D. 直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则m的值为A.  B.  C.  D. 已知a，，则“”的一个必要条件是A.  B.  C.  D. 已知，，，则A.  B.  C.  D. 已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是
A.  B.
C.  D. 已知数列满足对任意的正整数n，都有…，其中，则数列的前2022项和是A.  B.  C.  D. 如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为
A.  B.  C.  D. 已知，，是双曲线：的两个焦点，若点P为椭圆：上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为A.  B.  C.  D. 已知向量，，点A的坐标为，则点B的坐标为______.对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶如图中阴影区域所示的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______在棱长为2的正方体的侧面内有一动点P到直线与直线BC的距离相等，则在侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积是______.已知函数，恰有3个零点，，，且，有下列结论：
①；
②；
③；
④
其中正确结论的序号为______填写所有正确结论的序号第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人其中男性20人，女性20人，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如图：
依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由可以不计算说明；
请完成下列列联表，并判断能否有的把握认为老年人幸福指数与性别有关？ 一般幸福非常幸福合计男性  20女性  20合计  40附：，其中







 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点
求角B的大小；
记，的面积分别为，，在①，，②，，这
两个条件中任选一个作为已知，求的值．






 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．
证明：平面AEF；
求二面角的余弦值．







 已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接为坐标原点，线段OG与椭圆C交于点若直线OP，OQ的斜率分别为，
求的值；
求面积的最大值．






 已知函数其中e是自然对数的底数
当时，证明：；
当时，恒成立，求正整数k的取值集合；
证明：!
参考数据：，，






 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是
分别写出的普通方程与的直角坐标方程；
将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．






 已知函数
求不等式的解集；
若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．







答案和解析 1.【答案】B
 【解析】解：，
，即
故选：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．
 2.【答案】D
 【解析】解：，
，

故选：
分别求解函数的值域与定义域，化简M与N，再由并集运算得答案．
本题考查函数的定义域及值域的求法，考查并集及其运算，是基础题．
 3.【答案】C
 【解析】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为，
极差为最大值与最小值的差，要发生改变，
加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为发生改变，
众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，
平均数体现数据的整体水平，要发生改变，
故选：
根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案．
本题考查数据的数字特征，涉及平均数、方差、众数、中位数的计算，属于基础题．
 4.【答案】D
 【解析】解：m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，
对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，，，则m与n平行或异面，故C错误；
对于D，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：
对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，与相交或平行；对于C，m与n平行或异面；对于D，由线面垂直的判定定理得
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
 5.【答案】C
 【解析】解法一：等差数列的前n项和为，，，
，
解得，，

解法二：等差数列的前n项和为，，，
，即，
解得，

故选：
法一：利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出，，由此能求出
法二：由，求出，从而，由此能求出结果．
本题实数等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】C
 【解析】解：直线l：与圆C：交于A，B两点，
圆心到直线l的距离，
，即，解得
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
 7.【答案】B
 【解析】解：对于A，令，，推不出，故A错误，
对于B，由“”得：且，故，
反之，若，推不出，比如，，
故是的必要不充分条件，故B正确，
对于C，令，，推不出，故C错误，
对于D，令，，推不出，故D错误，
故选：
取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断
本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是基础题．
 8.【答案】B
 【解析】解：，且，
，即，
，，
又，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 9.【答案】B
 【解析】解：由图像可知函数的定义域为，
对于A：函数的定义域为，故A不符合；
对于B：函数的定义域为，故B符合，
对于C：函数的定义域为，故C不符合；
对于D函数的定义域为，但，故D不符合．
故选：
根据函数的定义域排除AC，根据函数的值排除
本题考查了函数图像的识别，属于基础题．
 10.【答案】C
 【解析】解：不妨设数列的前n项和为，
故由题可得，
故当时，，
则，
即，又当时，，
故该数列是，且从第二项起是公比为2的等比数列，
故
故选：
根据已知条件，利用，的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前n项和公式即可求得结果．
本题考查了数列的递推式以及等比数列求和的问题，属于中档题．
 11.【答案】B
 【解析】解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱柱的外接球相同，
该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直径为AD，
则，当且仅当时取等号，
所以该几何体外接球表面积的最小值为：
故选：
判断几何体的形状，求解外接球的半径，然后求解即可．
本题考查三视图求解几何体是外接球的表面积的最小值，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 12.【答案】A
 【解析】解：假设点P在x轴上方，设，则，
由已知得，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
，
，
由于P为椭圆的短轴端点时，取最小值，即取最小值，
也取最小值，此时，
函数在上单调递减，
，
即，解得
即椭圆离心率的取值范围为
故选：
假设点P在x轴上方，设，，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可．
本题考查了椭圆离心率取值范围的问题，属于中档题．
 13.【答案】
 【解析】解：设，
由于向量，，
故，
整理得，
故答案为：
直接利用向量的线性运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 14.【答案】
 【解析】解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，正方形的边长为2dm，则正方形的面积，
向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，
则有，解可得，
故答案为：
根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，求出正方形的面积，由几何概型的计算公式可得，解可得答案．
本题考查几何概型的计算，涉及模拟方法估算概率，属于基础题．
 15.【答案】
 【解析】解：P到直线与直线BC的距离相等，可得点P到直线与直线B的距离相等，
所以点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，
过中点M，的中点O的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，
因为，所以抛物线方程为，
所以在侧面上动点P的轨迹方程为，
侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积为
故答案为：
点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，建立坐标系，求得曲线方程，利用定积分求面积．
本题考查点的轨迹问题，以及曲线围成图形的面积，属中档题．
 16.【答案】②③④
 【解析】解：如下图所示：

因为，则，由图可知，，则，
且直线与曲线相切于点，
对于①：若，即，由题意可得，所以，即，
解得，因为，则不成立，故①错误；
对于②：因为，则，故②正确；
对于③：当时，则，，
由题意可得，可得，
所以，所以，故③正确；
对于④：由上可知，所以，
因此，，故④正确．
故答案为：②③④．
作出图形，分析可知，，且直线与曲线相切于点，可得出，利用反证法结合二倍角公式可判断①，由已知条件可判断②；利用二倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，以及三角恒等变换，属难题．
 17.【答案】解：由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在之间，
男性老人的幸福指数主要集中在之间，
故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，
故女性老人幸福指数更高．
列联表如图所示：  一般幸福 非常幸福 合计 男性 16 4 20 女性 11 9 20 合计 27 1340，
有的把握认为老年人幸福指数与性别有关．
 【解析】由茎叶图可得，女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
由可得，
因为，可得，所以，即，
因为，所以；
选①：因为，，由余弦定理可得b²²²，代入可得a²，解得，
因为CD平方，令，
则，，
则；
选②：因为，解得，
由，再由余弦定理可得b²²²，即²²，可得a²²，
联立，解得，，
由CD平方，令，
则则，，
则
 【解析】由，化简可得，即可求解；
选①：由余弦定理求得a，令，结合三角形的面积公式求得，，即可求得的值．
选②：由，求得，利用余弦定理求得a²²，联立方程组即可求得a，c，结合面积公式求得，，即可求得的值．
本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：连接交AE于O，连接OF，由题意，四边形是平行四边形，所以，
因为E为的中点，，∽，且相似比为，，
又F，G分别为棱BC，CF的中点，，，又平面AEF，平面AEF，
平面AEF，
连接，，，，，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，
设平面AEF的一个法向量为，
则，令，则，，
平面AEF的一个法向量为，
设平面BEF的一个法向量为，
则，令，则，，
平面BEF的一个法向量为，
，，
因为二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为
 【解析】连接交AE于O，连接OF，可证，进而可证平面AEF；
建立如图所示的空间直角坐标系，求平面AEF的一个法向量，求平面BEF的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，以及面面角的余弦值的求法，属中档题．
 20.【答案】解：，，设，，
由题意直线的方程为，①，
直线的方程为，②，
由①②得点，
可得，，
由知，设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，得，
由对称性，不妨设，
，，
由知，异号，，异号，
，
点Q到直线的距离，

，
，当且仅当，取等号，
面积的最大值为
 【解析】设，，由题意写出直线，的方程，求出点G的坐标，从而表示出，，进而求出的值．
设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式求解最大值．
本题考查两直线的斜率的比值、三角形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 21.【答案】解：证明：设，
则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即当且时，取等号，
所以，
则，即当且仅仅当时取等号，
因为上述两个不等式等号不同时取到，
所以，
所以
由已知，，且k为正整数，
所以或，
当时，令，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即恒成立，
当时，令，
在上单调递增，
所以，，
所以存在，使得，
当时，，则在上单调递减，
所以，
从而不满足恒成立，
故，
综上所述，正整数k的取值集合为
由知时，，
令，则，
所以!，
所以!，
因为且，
所以，
所以，
所以!
 【解析】设，求导判断单调性，从而证明，进而可证明当且仅仅当时取等号，可得，即证
由已知判断得，分类讨论与的情况，令新函数，求导判断单调性，从而判断是否恒成立．
由得，从而可得!，可证明!，即证!
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消t可得，，
，
，
①，
故
将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，
直线的斜率为，即直线的方程为，
则直线的参数方程为为参数②，
联立①②可得，，
A，B对应的参数为，，则，
，
点在圆C外，
，同号，
由参数方程的几何意义可知，
 【解析】根据已知方程，消t，即可求解，根据方程，结合极坐标公式，即可求解．
根据已知条件，先求出，再可求得该参数方程，再结合参数方程的性质，即可求解．
本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 23.【答案】解：由题意，
当时，，解得，
当时，恒成立，解得，
当时，，解得，
综上所述，不等式的解集为
由绝对值不等式可得，，当且仅当时等号成立，
故函数最小值为3，即，
所以，
，，，
，当且仅当时，等号成立，
故，即的最小值为
 【解析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可求解．
由绝对值三角不等式可得，函数的最小值为3，即，再根据柯西不等式，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的求解，考查柯西不等式的应用，属于中档题．