人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案，文件包含731复数的三角表示式解析版docx、731复数的三角表示式原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.知道复数的模和辐角的定义
2.会求复数的模和辐角主值
3.能求出复数的三角形式
【自主学习】
知识点1 复数的三角形式
1．定义：r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
3．辐角主值
(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．
(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(csθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝r·csθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))
【合作探究】
探究一 代数形式与三角形式的转换
【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(csθ＋isinθ)； (2)z2＝csθ－isinθ.
[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－csθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2csθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－csθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－csθ－isinθ)＝2[cs(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(csθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．
∴z2＝csθ－isinθ＝cs(－θ)＋isin(－θ)或z2＝csθ－isinθ＝cs(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z3＝－sinθ＋icsθ； (2)z4＝－sinθ－icsθ； (3)z5＝cs60°＋isin30°.
解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，csθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“eq \f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．
∴z3＝－sinθ＋icsθ＝cs(eq \f(π,2)＋θ)＋isin(eq \f(π,2)＋θ)．
(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icsθ＝cs(eq \f(3,2)π－θ)＋isin(eq \f(3,2)π－θ)．
(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cs60°＋isin30°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝eq \f(1,2)(1＋i)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)(cseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)(cseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4))．
探究二 将复数的三角形式化为代数形式
【例2】将复数化为代数形式为________．
【答案】 －eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i
[解析] ＝3eq \r(2)
＝－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(6),2)i.
归纳总结：将复数的三角形式rcsθ＋isinθ化为代数形式a＋bia，b∈R时，其中a＝rcsθ，b＝rsinθ.
【练习2】复数的代数形式是 .
【答案】－3－3eq \r(3)i
解析：＝6＝－3－3eq \r(3)i.
探究三 复数的模与辐角主值
【例3】求复数z＝1＋csθ＋isinθ(π