高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形学案设计

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8.1基本立体图形第1课时　棱柱、棱锥、棱台第2课时　导学案编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波【学习目标】1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题 【自主学习】知识点1  空间几何体1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．知识点2  棱柱的结构特征1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．知识点3  棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥． 知识点4 　棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．
【合作探究】探究一  棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．【答案】　(3)(4)[分析]　根据棱柱的结构特征进行判断．[解析]　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4)． 归纳总结：棱柱的结构特征：1有两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征 【练习1】如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1­DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．  探究二  棱锥、棱台的结构特征【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．(2)如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是(　　)A．三棱锥　　　　 B．四棱锥C．三棱柱   D．三棱台【答案】　(1)①②③　(2)B[分析]　根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．[解析]　(1)①正确，棱台的侧面都是梯形．②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．(2)由题图知，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C.故选B. 归纳总结：判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法： 棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点  【练习2】下列特征不是棱台必须具有的是(　　)A．两底面平行B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点【答案】C解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A，B，D正确，选C.   
课后作业A组 基础题一、选择题1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　)【答案】C　[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【答案】A　[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　　)A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形【答案】C　[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①　　　　　　　　②]4．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是(　　)A．①是棱柱　　　 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台【答案】ACD　[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]5．(多选题)下列说法错误的是(　　)A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【答案】ABC　[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①　　　　　②　　]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.【答案】12　[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．【答案】　[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．【答案】3　[如图，三棱台可分成三棱锥C1­ABC，三棱锥C1­ABB1，三棱锥A­A1B1C1，共3个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]　这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解]　(1)如图①所示，三棱锥A1­AB1D1(【答案】不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1­ACD1(【答案】不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1­ABD(【答案】不唯一)．①　　　　　　　　　②③ 
B组 能力提升一、选择题1．由五个面围成的多面体，其中上、  下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是(　　)A．三棱柱　　B．三棱台　　C．三棱锥　　D．四棱锥【答案】B　[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(　　)①　　　　②　　　　③　　　　④A．①②　　　 B．②③  C．③④　　　 D．①④【答案】B　[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]二、填空题3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．【答案】10　[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]三、解答题4.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解]　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．[解]　把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，，，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.