第六章 平面向量及其应用（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

这是一份第六章 平面向量及其应用（知识梳理）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册），共6页。试卷主要包含了平面向量，向量的两个要素，有向线段，向量的表示，向量方法解决物理问题的步骤，余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。
1.数量与向量(1)概念：在数学中，既有大小又有方向的量叫做向量，而只有大小没有方向的量称为数量2.向量的两个要素向量由大小与方向两个要素组成，大小是代数的特征，方向是几何特征3.有向线段（1）有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.(3)向量的表示以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.4.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).3.模、零向量、单位向量向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（平行向量也可叫做共线向量）用有向线段表示向量的a与b是两个平行向量，如若平行。则记作a∥b.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量用有向线段表示向量的a与b是相等，记作a＝b.一、向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2.向量加法的运算法则：（1）向量加法的三角法则已知非零向量，在平面内任取一点A，做=，=，则向量叫做与的和，记作，即,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
（2）平行四边形法则以同一O为起点的两个已知向量，，以，为邻边做OACB，则以O为起点的向量，（OC是OACB的对角线）就是向量与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量，我们规定+=+=  向量加法的运算律（1），交换律 ：a+b=b+a(2):结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同二、向量的减法运算1.相反向量：与向量a,长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作﹣a规定：零向量的相反向量仍是零向量  向量的减法向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，则a-b=a+(-b).求两个向量差的运算则是向量的减法Xlx             3.向量减法的几何意义已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则即可以表示为从的终点指向向量的终点的向量三、向量的数乘运算1.向量数乘的定义实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下；当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义是把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成-1与这个向-a)=lt量的乘积，即-a=(-1 )a.3.向量数乘的运算律设λ，是实数，a,b是向量（1）结合律：λ（a）=（λ）+a（2）第一分配律：（λ）a=λa+a（3）第二分配律：λ（a+b）=λa+λb    四.向量的数量积     两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cos θ＝＝.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
余弦定理三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；
,
余弦定理得推论；
cosA=，cosB=,cosC=
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；

正弦定理的变形公式：
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
 三角形面积的公式S=S=SS