2022辽宁省凌源市高二下学期开学考试数学含答案

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凌源市高中部分学生抽测试卷高二数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时问120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范固：必修一（10分）、必修三（20分）、必修三（30分）、必修四（35分）、选择性必修一（40分）、选择性必修二第三章《排列组合与二项式定理》结束（15分）．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，则中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．设（i是虚数单位），则（）A．1B．2C．D．3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A．B．2C．D．4．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．已知单位向量满足，则向量的夹角为（）A．B．C．D．7．某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（）A．216种B．108种C．72种D．36种8．已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A．B．C．1D．210．已知过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为（）A．B．C．D．11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周共有504种排法12．设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，准线为l，A是C上第一象限的点，的垂直平分线与l交于点M，若的面积为，则（）A．抛物线C的焦点坐标为B．抛物线C的准线方程为C．直线与抛物线C相切D．的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为_________．14．已知双曲线的左，右焦点为，过垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，且为直角三角形，则C的离心率为__________．15．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分制车的值他可以用表示．若实数n满足，则_________．16．已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面，，，，，且四边形的面积为，则球O的表面积为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．18．（12分）已知向量与，其中．（1）若，求的值；（2）若，求的值域．19．（12分）已知函数的定义域是R．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于m的不等式．20．（12分）如图，是圆柱的底面上两条互相垂直的直径，是圆柱的两条母线．M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级高二年级高三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应该在高三年级抽取多少名？（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．22．（12分）已知圆，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径上，且，设点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线的方程．凌源市高中部分学生抽测试卷·高二数学参考答案、提示及评分细则1．B  因为，所以，则的元素的个数为2，故选B．2．D  ，则，故选D．3．B  ∵，∴由正弦定理可得，则．4．C  由题意可知，函数的定义域为R，，所以为奇函数，排除选项A，B；当时，，所以，所以，排除D．故选C．5．D  时，m，n的位置关系是相交，平行或者异面，A错；若，m是平面外的直线，当时，满足，不满足，∴B错；若，则可能相交，可能平行，C错；由，则，又，∴，D正确．6．C  设向量的夹角为，由得，，又知，所以，解之得或，又，所以，因，所以，故选C．7．A  由题，先安排4名男主任医师，有种方法，再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，故共有种不同的安排方法．8．B  ，则在R上为增函数，且当时，．∴，∴，即．9．AB  由得，因此，若“”是“”的充分不必要条件，则．10．AD  设直线l的斜率为k，则，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离，∵弦长为，∴，即，解得，∴，∴直线的倾斜角为或．11．BCD  6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B正确；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．12．AD  过A作，垂足为，如图所示，由抛物线的定义可知，，过F作，垂足为E，则，所以，在中，，则，因此为等边三角形．因为的垂直平分线与l交于点M，所以点M与重合．易知，所以的面积为，解得．∴．抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，联立整理得，无解，∴直线y：与抛物线相离．13．14．由解得，又知，所以，所以，即，所以，解之得（负值舍去）．15．2根据题中的条件可得．16．在四边形中，连结，因为，所以，所以，又知A，B，C，D在同一圆上，所以，又，所以，则，在中，．又知底面的面积为，所以．所以，则，，所以外接圆的半径．将四棱锥补成直四棱柱．易知该直棱柱的所有顶点都在球O的球面上．由球的对称性可知，球心O到底面的距离为，所以球O的半径R满足，所以球O的表面积．17．解：（1）由正弦定理及，得，即，3分由余弦定理，得，∵，可得．5分（2）由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，8分∴，即面积的最大值为．10分18．解：（1）∵，∴，求得．3分又∵，∴，4分∴．6分（2）8分又∵，∴，即函数的值域为．12分19．解：（1）∵函数的定义域是R，∴恒成立，3分则，解得，∴实数a的取值范围为．6分（2）∵，∴，8分解得或，11分故不等式的解集为．12分20．（1）证明：由条件可知．设直径交于点O，连结．因为是圆柱的两条母线，所以底面，又平面，所以，又平面，所以平面，所以．2分设，则，在中，，在中，，所以，所以，4分因平面，所以平面，又平面，所以平面平面．6分（2）解：以O为原点，分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，所以．7分设是平面的法向量，则即可取，9分由（1）知，是平面的一个法向量，记为，10分则．11分由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．12分21．解：（1）∵，∴．3分（2）高三年级人数为：，5分现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人．7分（3）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生男生数记为，由（2）且，基本事件空间包含的基本事件有：共11个，9分事件A包含的基本事件有：，共5个，11分∴．12分22．解：（1）设点P的坐标为，∵，∴点P在线段的垂直平分线上，∴，1分又∵，∴2分∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且∴3分∴椭圆方程为．4分（2）设直线方程为则解得∴5分，解得∴7分∵与垂直，∴直线的方程为令，得，∴，∴8分∴9分设则∴10分当且仅当即时等号成立，有最大值此时，满足，11分所以直线的方程为或．12分