2022台州书生中学高一下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022台州书生中学高一下学期3月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
台州市书生中学2021学第二学高一数学阶段性测试卷命题人（本卷满分：150分　考试时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共40分．）1. 下列命题中正确的是（）A. －＝ B. ＋＝0C. 0＝ D. ＋＋＝【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D.【详解】起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，故选：D.2. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（）A. ＝(0，0)，＝(1，2)B. ＝(－1，2)，＝(5，－2)C. ＝(3，5)，＝(6，10)D. ＝(2，－3)，＝(－2，3)【2题答案】【答案】B【解析】【分析】确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示【详解】A．＝(0，0)，，不可以作为平面的基底；不能表示出；B．由于，不共线，，可以作为平面的基底；能表示出；C．，，不可以作为平面的基底；不能表示出；D．，，不可以作为平面基底；不能表示出．故选：B． 3. 已知中，，则c=（）A. 1 B.  C.  D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，故选：C.4. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的（）A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【4题答案】【答案】C【解析】【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项.【详解】依题意是非零向量，“存在实数λ，使得”，“”同向，所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：C5. 已知向量满足，且．则向量与向量的夹角是（）A.  B.  C.  D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】先求出，再根据求与的夹角.【详解】.，，即向量与向量的夹角是.故选：C【点睛】知识点睛：求向量夹角通常用夹角公式：，还要注意角的范围.6. 对于任意两个向量和，下列命题正确的是（）A. 若，满足，且与同向，则 B. C.  D. 【6题答案】【答案】B【解析】分析】根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；C.，故C不正确；D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.故选：B7. 若的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.面积,则A.  B.  C.  D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】取，代入已知式化简变形．【详解】∵，∴，，．又由得∴，由正弦定理得，，∴．故选：D.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．三角函数中公式较多，解题时需根据不同的条件选取不同的公式化简变形．8. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是（）A. 1 B.  C. 2 D. 4【8题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意可得，对两边平方化简可得，然后利用基本不等式可求出的最大值【详解】由题意可得，因为，，所以，，所以，因，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是2,故选：C二、多选题（每小题5分，共20分，少选漏选得3分，错选得0分．）9. 在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是（）A.  B. 若，则；C.  D. 若，则【9题答案】【答案】AD【解析】【分析】结合三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识确定正确选项.【详解】，A选项正确.，C选项错误.若，则，所以，B选项错误.对于D选项，，则（为三角形外接圆的半径），由正弦定理得，所以，所以D选项正确.故选：AD10. 已知向量，，则（）A.  B. 与向量共线的单位向量是C.  D. 向量在向量上的投影向量是【10题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项.【详解】A选项，，，，，A选项正确；B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误；C选项，，，则，故，C选项正确；D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；故选：AC.11. 在中，角，，所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A. 若，则B. 已知中，，则有两解C. 若是钝角三角形，则D. 若则面积的最大值为【11题答案】【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理，可得判定A正确；结合正弦定理求得，可判定B错误；不妨设为锐角，分为钝角和为锐角，两种情况，结合正切函数的性质，可判定C正确；利用余弦定理和基本不等式，以及面积公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由，可得，可得，所以A正确；对于B中，在中，，由正弦定理知，即，因为，可得，所以只有一解，所以B错误；对于C中，由是钝角三角形，不妨设，当为钝角时，可得，此时，符合题意；当为锐角时，可得，即，且，由函数在上为单调递增函数，可得，即，所以，所以C正确；对于D中，因为，由余弦定理，即，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为，所以面积的最大值为，所以D正确.故选：ACD.12. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）A. 若，则点是边的中点B. 若，则点在边的延长线上C. 若，则点是的重心D. 若，且，则的面积是的面积的【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.【详解】A中：,即：,则点是边的中点B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.C. 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D．且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.三、填空题（每小题5分，共20分．）13. 若，，则___________．【13题答案】【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算，得到，即可求解.【详解】由题意，向量，，根据向量的坐标运算，可得.故答案为：.14. 已知向量、是两个非零向量，且，则与的夹角为___________．【14题答案】【答案】##【解析】【分析】设出两向量的夹角，利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.【详解】设与的夹角为，设，所以，则，即，即，又因为，所以，即与的夹角为.故答案为：.15. 外接圆半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为___．【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可求得；利用余弦定理构造关于的方程，解方程可求得结果.【详解】由正弦定理可得：，解得：由余弦定理可得：解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查对于公式的掌握，属于基础题.16. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则___________.【16题答案】【答案】7200【解析】【分析】以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到的坐标，然后求得直线的方程，根据在直线上，得到，运用向量的数量积的坐标运算即可.【详解】如图所示：以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，则，直线的方程为，设，则，即，所以，所以.故答案为：7200【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题（本大题共5大题，共70分，每题14分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）17. 已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【17~18题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用向量垂直的条件得到，再利用同角三角函数基本关系的商数关系进行求解；（2）先利用向量平行的条件得到，再利用二倍角公式结合角的范围进行求解..【小问1详解】解：因为，所以，即，则；【小问2详解】解：因为，所以，即，因为，所以，所以，即.18. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．（1）求的值；（2）用，表示；（3）求的值．【18~20题答案】【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解；（2）利用平面向量加法的平行四边形法则和数乘运算进行求解；
（3）先利用模长公式、数量积运算求出、、，再利用夹角公式进行求解.【小问1详解】解：由题意，得；【小问2详解】解：因为平面向量加法的平行四边形法则，且BD，AC相交于点O，M为BO中点，所以即；【小问3详解】解：由（1），得，且，由（2），得，则，所以.19. 已知海岛B在海岛A北偏东，A，B相距10海里，游船甲从海岛B以1海里/小时的速度沿直线向海岛A行驶，同时游船乙从海岛A沿着北偏西方向以2海里/小时的速度行驶.（1）问经过多长时间，游船甲在游船乙的正东方向；（2）求游船甲从海岛B驶向海岛A的过程中，甲、乙两船间距离的最小值.【19题答案】【答案】（1）经过小时；（2）海里.【解析】【分析】（1）设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向，分别到达E，F点，然后在中，利用正弦定理求解； （2）由（1）得，，然后在中利用余弦定理求解.【详解】（1）设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．如图所示：游船甲与海岛的距离为海里，游船乙与海岛距离为海里，，，．在中，由正弦定理得，即，解得．故经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．（2）由（1）题设，，，由余弦定理得：，即．∵，∴当时，（海里）．故甲、乙两船间距离的最小值为海里．20. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）若，的面积为3，求b与c；（2）若，求C．【20题答案】【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，然后结合三角形的面积公式即可求解，；（2）由已知结合和差角公式进行化简可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．【详解】因所．又，所以，化简为．即．因为．所以．（1）因为，，所以，解得，从而．（2）因，所以，所以，解得．又，所以，所以，或，解得或．21已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【21题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，对称轴为，①当即时，当时，∴舍，②当即时，当时，∴，③当即是，当时，∴舍，综上，.（2）令，即，∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，∴∴∴.