第五章 三角函数（考点与题型解析）2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

第五章 三角函数章末复习与题型解读

一、本章知识体系

二、考点与题型解读

考点一  同角三角函数基本关系和诱导公式的应用

方法剖析

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用＝tan α可以实现角α弦切互化.

（2）关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，（sin α＋cos α）2＝（sin α－cos α）2＋4sin αcos α.

（3）sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.

【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________.

(2)已知f(α)＝.

①化简f(α)；

②若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；

③若α＝－，求f(α)的值．

点睛：1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

2．（1）对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α，π±α（或k·±α，k∈Z）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.

（2）解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.

考点二 三角函数式子的化简

考点剖析：（1）一看“角”，一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.

【例2】　化简：（1）（0<θ<π）；

   （2）·.

考点三 三角函数的图象变换问题

【例3】(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.　　 B.        C．0         D．－

【点睛】1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法

2．对称变换

(1)y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象．

(2)y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象．

(3)y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象．

考点四  三角函数的性质

【例4】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.       B.       C.        D.

(2)已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．

①求f(x)的单调区间；

②若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．

考点五 三角函数的求值

考点剖析：（1）“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角.

（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角.

【例5】已知tan＝，且－<α<0，则＝（　　）

A.－     B.－     C.－      D.

考点六  三角恒等变换的综合应用

【例6】已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

【点睛】三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

1.求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.

2.要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.

考点七  三角函数的平面几何中的应用

【例7】直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ.

(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；

(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)

【点睛】三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：

1.审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.

2.利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为

y＝Asinωx＋φ＋b的形式.

3.在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.