2021学年9.2 用样本估计总体学案及答案

这是一份2021学年9.2 用样本估计总体学案及答案，文件包含924总体离散程度的估计解析版docx、924总体离散程度的估计原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。

 9.2.4总体离散程度的估计
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体
2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)
3.理解离散程度参数的统计含义
【自主学习】
知识点1 方差、标准差的定义
一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差为＝（－），
标准差为.
知识点2 总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝
为总体方差，S＝为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝.
知识点3 样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，
则称
为样本方差，s＝为样本标准差．
知识点4 方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

【合作探究】
探究一 标准差与方差的应用
【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【答案】　(1)甲＝100，乙＝100.s＝，s＝1.
(2)乙机床加工零件的质量更稳定.
【解析】　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.

归纳总结：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高

【练习1】为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．
理科：79,81,81,79,94,92,85,89
文科：94,80,90,81,73,84,90,80
计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？
【答案】理科1＝85(分)，方差s＝31.25；文科2＝84(分)，方差s＝41.75.
理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．
【解析】计算理科同学成绩的平均数1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85(分)，方差s＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；
计算文科同学成绩的平均数2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84(分)，方差s＝×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.
因为1>2，s 所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．


探究二 用样本平均数和样本标准差估计总体
【例2】在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
【答案】能，估计为51.4862
【解析】引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出．这也就是估计值．

归纳总结：（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．

【练习2】在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．
【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.
【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为，方差记为s；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为，方差记为s；把总体数据的平均数记为，方差记为s2.
则总样本平均数为：＝×47.4＋×56.2＝52.68(分)，
总样本方差为：s2＝(＋)
＝{8[s＋(－)2]＋12[s＋(－)2]}
＝{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，
总样本标准差s＝10.37.
所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.




课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)
A．平均数　　　　　 B．中位数
C．方差 D．众数
【答案】C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]
2．对一组样本数据xi(i＝1,2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1,2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　)
A．平均数与方差都不变
B．平均数与方差都变了
C．平均数不变，方差变了
D．平均数变了，方差不变
【答案】D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为，则正确答案应为D．]
3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　)
A．　　　B． C．2　　　D．
【答案】D　[∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为.故选D．]
4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　)
A．15 B．16
C．17 D．18
【答案】D　[由题意得，＝108，①
＝35.2，②
由①②解得或所以|x－y|＝18.故选D．]
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2　　　
C．2.6　　　 D．2.5
【答案】C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.]
二、填空题
6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
【答案】丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]
7．五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
【答案】5　　[由＝3得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.]
8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________．
【答案】200　[设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，
由题意可知s2＝ω男[s＋(男－)2]＋ω女[s＋(女－)2]，即
ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝，
因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.]
三、解答题
9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
【答案】　甲品种的样本平均数为×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数为×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．
10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
【答案】　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45，
年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.

11．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8

(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解　(1)频率分布直方图如图：

(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．

B组 能力提升
一、选择题
1．某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：

次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的平均数为(　　)
A．1.1 B．3 C．1.5 D．2
【答案】　A
解析　设数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.
2．样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】　C
解析　x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4，则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
3．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】　D
解析　由题意得，＝108，①
＝35.2，②
由①②解得x＝99，y＝117，所以|x－y|＝18.故选D.
4．(多选题)若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)
A．平均数是10　　 B．平均数是11
C．方差为2 D．方差为3
【答案】BC　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s，故选BC．]
5．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝ 2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3可能是(　　)
A．3.2 B．3.3
C．2.7 D．4.5
【答案】BC　[由题意可得2．003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－3)2]，
解得3＝3.3或2.7.]
二、填空题
6．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
【答案】1,1,3,3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．
由条件知
即又x1，x2，x3，x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
∵s＝＝1，
∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3. 由此可得4个数分别为1,1,3,3.]
7．已知一组数据x1，x2，…，x10的方差是2，且(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2＝380，则这组数据的平均数＝________.
答案　－3或9
解析　∵数据x1，x2，…，x10的方差为2，
∴[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝2，
即(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2＝20.
又∵(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2＝380，
∴90－102＋(2－6)×10＝360，
∴2－6－27＝0，
解得＝－3或＝9.
8．已知某位同学五次数学考试成绩分别为121,127,123，a,125.若其平均成绩是124，则这组数据的方差为________．
答案　4
解析　由平均成绩是124，可以求得a＝124，然后由方差公式得方差为×[(121－124)2＋(127－124)2＋(123－124)2＋(124－124)2＋(125－124)2]＝4.
三、解答题
9．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差．
【答案】　(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5, 2)，[2, 2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.
(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是1＝0.25，2＝0.75，3＝1.25，4＝1.75，5＝2.25，6＝2.75，7＝3.25，8＝3.75，9＝4.25,
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03，
则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6.
10．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，某市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：

第一档
第二档
第三档
每户每月用电量(单位：度)
[0,200]
(200,400]
(400，＋∞)
电价(单位：元/度)
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]



②
(100,200]



③
(200,300]



④
(300,400]



⑤
(400,500]



⑥
(500,600]



合计



(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
【答案】　(1)频率分布表如下：
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]

4
0.04
②
(100,200]

12
0.12
③
(200,300]

24
0.24
④
(300,400]

30
0.30
⑤
(400,500]

26
0.26
⑥
(500,600]

4
0.04
合计

100
1
频率分布直方图如图：

(2)该100户用户11月的平均用电量
＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
(3)y1＝0.65x，
y2＝
由y2≤y1得或
或
解得x≤≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759 8＞0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．