人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率导学案及答案

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 10.1.1有限样本空间与随机事件
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.了解样本空间、随机事件的含义
2.了解必然事件、不可能事件的含义
【自主学习】
知识点1 1．事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．
(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．

知识点2 对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．


【合作探究】
探究一 样本点的确定
【例1】在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
[分析]　(1)一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；(2)先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．
【答案】　不妨记3张红色卡片为1,2,3号，2张白色卡片为4,5号．
(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1号、2号卡片)，故共有10个样本点．
(2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中的样本点有25个．

归纳总结：试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.


【练习1】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
【答案】：(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
探究二 样本空间的分析
【例2】将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
[分析]　根据事件的特点列举即可．
【答案】方法1：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．

(1)由图知，样本点总数为36.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
方法3：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：

(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．

归纳总结：(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.
【练习2】　一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
【答案】(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个样本点．


课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　 　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
【答案】C
解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．
2．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是(　 　)
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
【答案】D
解析：抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．选D.
3．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是(　 　)
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【答案】A
解析：“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个样本点．故选A.
4．下列现象中，不可能事件是(　　)
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
【答案】C　[锐角三角形中两内角和大于90°.]
5．下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾
【答案】C　[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]
6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有(　　)
A．1个 B．2个　　　
C．3个　　　 D．4个
【答案】C　[该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以试验的样本点共有3个．]
7．下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①三角形内角和为180°；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A　[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴③是随机事件，而①②④均为必然事件．]
8．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】C　[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) }. 其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．]
二、填空题
9．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______个．
【答案】5　[样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．]
10．下列试验中是随机事件的有________．
①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．
【答案】①③④　[①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]
11．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．
【答案】Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5　[样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2,4,6,8,10，共有5个．]
三、解答题
12．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个样本点．
(1)写出试验的样本空间．
(2)用集合表示事件M＝“a＋b＝5”包含的样本点．
【答案】(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
13．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
【答案】　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．
(2)试验样本点的总数是12.
(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．
14．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
【答案】(1)以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．


B组 能力提升
一、选择题
1．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　 　)
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
【答案】C
解析：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．
2．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有(　　)
A．6种　　　　 B．12种
C．24种 D．36种
【答案】D　[试验的全部样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．]
3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　)
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
【答案】C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件．]
4.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有(　　)
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
【答案】C
解析“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0,A中有9个非零数,故选C.
5.(多选题)在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x可能的值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
【答案】AB
解析依题意知,10名同学中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或4.
二、填空题
6．下列试验中，随机事件有________，必然事件有________．(填序号)
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．
【答案】②④　①　[①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件．]
7.投掷两枚骰子,点数之和为8的样本点有　　　　　个,点数之和不大于4的样本点有　　　　　个. 
【答案】5　6
解析点数之和为8的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.点数之和不大于4的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共6个.
8.一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球,则k的最小值为　　　　. 
【答案】16
解析至少需摸完黑球和白球共15个.
三、解答题
9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
【答案】(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
10.现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏,观察其出拳情况.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)事件“三人出拳相同”包含的样本点有哪些?
解用J,S,B分别表示剪刀、石头、布.
(1)Ω={(J,J,J),(J,J,S),(J,S,J),(S,J,J),(J,J,B),(J,B,J),(B,J,J),(J,S,S),(S,J,S),(S,S,J),(J,B,B),(B,J,B),(B,B,J),(S,S,S),(S,S,B),(S,B,S),(B,S,S),(B,B,S),(B,S,B),(S,B,B),(B,B,B),(J,S,B),(J,B,S),(S,J,B),(S,B,J),(B,J,S),(B,S,J)}.
(2)事件“三人出拳相同”包含下列三个样本点:(J,J,J),(S,S,S),(B,B,B).
　已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.
【答案】(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.
(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).