人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案设计

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 10.1.3古典概型
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.理解古典概型及其概率计算公式
2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率
3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法

【自主学习】
知识点1 古典概型的特点
①有限性：试验的样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．


知识点2 古典概型的概率公式
对任何事件A，P(A)＝


【合作探究】
探究一 古典概型的判断
【例1】判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
[分析]　运用古典概型的两个特征逐个判断即可．
[解]　(1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．

归纳总结：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
(1)样本点个数有限，但不等可能；
(2)样本点个数无限，但等可能；
(3)样本点个数无限，也不等可能.

【练习1】下列试验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
【答案】B
解析：由古典概型的两个特征易知B正确．
探究二 简单的古典概型的问题
【例2】有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，
①用零件的编号列出样本空间；
②求这2个零件直径相等的概率．
[分析]　首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出事件的样本空间Ω包含的样本点个数n及事件A包含的样本点个数m；最后，利用公式P(A)＝＝，
求出事件A的概率．
[解]　(1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，
(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝＝.

归纳总结：根据古典概型概率公式P(A)＝＝进行解题．


【练习2】将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．
(1)一共有多少个不同的样本点？
(2)点数之和为5的样本点有多少个？
(3)点数之和为5的概率是多少？
【答案】(1)36(个) (2)4 (3)
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点．
(2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个．
(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的样本点有4个，因此所求概率P(A)＝＝.
探究三 较复杂的古典概型问题
【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：
(1)他获得优秀的概率为多少；
(2)他获得及格及及格以上的概率为多少．
[分析]　这是一道古典概率问题，须用列举法列出样本点个数．
[解]　设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点．
(1)记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝.
(2)记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝.

归纳总结：解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点.

【练习3】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
解：(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为＝.
(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种情况，故其概率为.出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种情况，所以其概率为.

课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为(　　)
A． 　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C　[试验的样本空间Ω＝ {(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝＝.]
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.]
3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{ (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.]
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)

A． B． C． D．
【答案】C　[从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴所求概率为P＝.
故选C．]
5．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C　[连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x，y)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个基本事件，则P(A)＝＝.]
6．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P＝＝.
7．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
8．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝.
二、填空题
9．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是________．
【答案】　[设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，试验的样本空间Ω＝{(1,3,5), (1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7), (1,5,9), (1,7,9), (3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)三种情况，故所求概率为P(A)＝.]
10．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．
【答案】　[设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝.]
11．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
【答案】　[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝＝.]
12．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为.
【答案】
解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，2名都是女同学的选法为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求的概率为＝.
三、解答题
13．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
【答案】　(1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝ {(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.
(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为<，所以此游戏不公平．
14．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
【答案】　(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝ {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.

15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】(1)A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2 (2)
解析：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的机会是等可能的．记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，共4个样本点．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.

B组 能力提升
一、选择题
1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　[设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D．]
2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B　[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B．]
二、填空题
3．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)n＝________；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，则事件A的概率为________．
【答案】(1)2　(2)　[(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝ {(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝＝.]
三、解答题
4．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
【答案】[解]　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝.
5．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
x/℃
10
11
13
12
8
发芽数
y/颗
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数；
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有基本事件，并求满足“”的概率．
【答案】　(1)由题意知，发芽数按从小到大的顺序排列为16,23,25,26,30，所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%＝24%.
(3)用(x，y)表示所求基本事件，则有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个基本事件．
记“”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共有3个基本事件．
所以P(A)＝，即事件“”的概率为.