人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率导学案

   10.3.2随机模拟

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.理解随机模拟试验出现地意义

2.利用随机模拟试验求概率.

【自主学习】

知识点1  随机模拟产生的原因

用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现．

知识点2  随机模拟的方法

我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟．

我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法.

．

【合作探究】

探究一  利用随机模拟实验求概率

【例1-1】从你所在班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份,假设出生在一月,二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件发生的概率.

【答案】见解析

【解析】根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.

因此,可以构建如下有放回摸球试验进行模拟:在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球,这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生月份,这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同,表示事件发生了.重复以上模拟试验20次,就可以统计出事件发生的频率.

【例1-2】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.

【答案】

【解析】 设事件“甲获得冠军”,事件“单局比赛甲胜”,则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.例如,产生20组随机数:

423   123   423   344   114   453   525   332   152   342

534   443   512   541   125   432   334   151   314   354

相当于做了20次重复试验.其中事件发生了13次,对应的数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件的概率的近似似值为.

归纳总结：用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．

【练习1-1】袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，恰好抽取三次就停止的概率约为，故选C.

【练习1-2】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．

【答案】0.1

【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．

666　743　671　464　571

561　156　567　732　375

716　116　614　445　117

573　552　274　114　622

就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，

第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，

第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此

恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：

7527　0293　7040　9857　0347　4373　8636　6947

1417　4698　0301　6233　2616　8045　6001　3661

9597　7424　7610　4001

据此估计， 4件产品中至少有3件合格品的概率为(　　)

A．  B．  C．  D．

【答案】D　[∵4件产品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－＝.]

2．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　)

A．0.2 B．0.3 

C．0.4 D．0.5

【答案】A　[由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.]

3．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5727　0293　7140　9857　0347　 4373　8636　9647　1417　4698　

0371　6233　2616　8045　6011　 3661　9597　7424　6710　4281

据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　)

A．0.85 B．0.819 2

C．0.8 D．0.75

【答案】D　[该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为＝0.75.]

4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)

A．  B．  C．  D．

【答案】A　[随机取出两个小球有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种情况，和为3只有1种情况(1,2)，和为6可以是(1,5)，(2,4)，共2种情况，∴P＝.]

5．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为(　　)

A．0.2 B．0.8 

C．0.4 D．0.7

【答案】A　[由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为10，它们的长度恰好相差0.3 m的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝0.2.]

6．有下列两个命题：

(1)抛掷100次硬币，出现正面朝上的频率为0.4，则硬币正面向上的次数为40次；

(2)若一批产品的次品率为0.1，则此该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品．

以下判断正确的是(　 　)

A．(1)错；(2)错 　　　　　　 B．(1)错；(2)正确

C．(1)正确；(2)错    D．(1)正确；(2)正确

【答案】C

解析：在命题(1)中，根据题设条件可直接求得硬币正面向上的此时为40次，故(1)正确．在命题(2)中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故(2)是错误的，故应选C.

7．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指(　 　)

A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖

B．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元

C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001

D．以上说法都不正确

【答案】C

解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10(元)，因此选C.

8．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　 　)

A．概率为   B．频率为

C．频率为8   D．概率接近于8

【答案】B

解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．

二、填空题

9．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

则这三天中恰有两天降雨的概率约为        .

【答案】

解析：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,393，共有5组随机数，∴概率约为＝.

10．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．

【答案】　[[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.]

11．通过模拟试验产生了20组随机数：

6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884　2604　3346　0952　

6807　9706　5774　5725　6576　5929　9768　6071　9138  6754

如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．

【答案】0.25　[表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.]

12．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是________．

【答案】　[从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有1,2；2,3；3,4；4,5四种，故所求概率为＝.]

三、解答题

13．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率．用随机模拟的方法估计上述概率．

【答案】[解]　利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组．例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.

14. 一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)

【答案】[解]　利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：

330130　302220　133020　022011　313121　222330

231022　001003　213322　030032　100211　022210

231330　321202　031210　232111　210010　212020

230331　112000　102330　200313　303321　012033

321230

就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为＝0.16.

15..某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;

(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

解(1)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.

(2)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,

所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.

(3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为=0.2,

估计顾客同时购买甲和丙的概率为=0.6,估计顾客同时购买甲和丁的概率为=0.1.

所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

B组 能力提升

一、选择题

1．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为(　　)

A．   B．  C．  D．

【答案】A　[共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝.]

2．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是(　　)

A．   B．  C．   D．

【答案】C　[恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有6个，故所求概率为.]

二、填空题

3．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．

【答案】选出的4人中，1个男生3个女生　[用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3女．]

三、解答题

4．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．

(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；

(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率．(写出模拟的步骤)

【答案】[解]　(1)设A表示“取出的两球是相同颜色”，B表示“取出的两球是不同颜色”．

则事件A的概率为：P(A)＝＝.

由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为：P(B)＝1－P(A)＝1－＝.

(2)随机模拟的步骤：

第1步：利用抽签法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数，用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．

第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n.

第3步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．

5．某学校将要举行一系列的篮球比赛，为此学校购买了100个篮球．但由于采购人员把关不严，发现有30个篮球有质量问题.68个质量合格的篮球和2个质量不合格的篮球被存放在左边的篮球架上，2个质量合格的篮球和28个质量不合格的篮球被存放在右边的篮球架上．体育课上，体育老师派甲和乙两名同学去器材室拿两个篮球．回来后老师发现乙拿回来的篮球是质量合格的，而甲拿回来的篮球是质量不合格的．问乙是从哪个篮球架上拿的篮球，甲呢？

【答案】[解]　左边的篮球架上有68个质量合格的篮球和2个质量不合格的篮球，拿到质量不合格的篮球的可能性是＝；右边的篮球架上有2个质量合格的篮球和28个质量不合格的篮球，拿到质量不合格的篮球的可能性是＝.由此可以看出，从右边的篮球架上拿到质量不合格的篮球的概率比从左边篮球架上拿到质量不合格的篮球的概率大得多．由极大似然法知，既然甲拿到的是质量不合格的篮球，所以我们可以做出统计推断认为他是从右边篮球架上拿的篮球．同理可以认为乙是从左边的篮球架上拿到的篮球.