专题04 指数函数与对数函数（基础巩固）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第一册】

暑假高一基础巩固 专题04 指数函数与对数函数模块

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2019·林芝市第二高级中学期中）下列各式正确的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据根式的运算法则可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

，错误；，错误；，正确；，错误

故选

【点睛】

本题考查根式的运算，属于基础题.

2．（2019·嘉善高级中学高一月考）的次方根是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据偶次方根的定义可以直接求解.

【详解】

的次方根是.

故选：C

【点睛】

考查了偶次方根的定义,属于基础题.

3．（2020·贵州高三其他（理））已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据指数函数与对数函数的性质，分别判定的范围，进而可得出结果.

【详解】

由指数函数的单调性可得，，

由对数函数的单调性可得，

所以.

故选：D.

4．（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知，函数与的图像只可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，从而得出结论．

【详解】

解：已知，故函数是增函数．

而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．

5．（2020·四川泸州·高三其他（文））里氏震级M的计算公式为，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，标准地震的振幅为0.001，则9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的（    ）

A．10000倍 B．1000倍 C．100倍 D．10倍

【答案】A

【分析】

设9级地震的最大振幅是x，5级地震的最大振幅是y，根据震级M的计算公式为，代入并计算，求得答案.

【详解】

根据题意，假设在一次地震中，标准地震的振幅为0.001，

设9级地震的最大振幅是x，5级地震的最大振幅是y，则，

解得，所以.

【点睛】

本题考查了对数的运算，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.

6．（2020·山西运城·高三其他（文））函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先判断函数的定义域，再判断的奇偶性，最后根据，即可得出答案.

【详解】

解：已知函数的定义域为，且，所以是偶函数，故函数图象关于轴对称，排除D，又，故排除A，C，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别、函数的奇偶性，考查的核心素养是直观想象力，属于基础题.

7．（2020·安徽省舒城中学开学考试（文））方程的解所在的区间为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

构造函数，判断其零点所在的区间即可.

【详解】

令，

因为，.

根据零点存在定理可知在区间内存在函数的零点，

即方程的解所在的区间为

故选：

【点睛】

本题主要考查了方程的根与函数的零点，属于基础题,

8．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，．若函数恰有6个不同零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意作出与的图像，讨论当时，，当，，分别解不等式组即可求解.

【详解】

由条件可知函数恰有6个不同的零点，

转化为与恰有6个不同的交点，

∵，

∴的周期，且时，，是偶函数，

图象关于轴对称，

如图，在同一坐标系下画出函数和的图象，

①当时，的图象如图所示，轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，

此时应满足，解得；

②当时，与在轴左侧有2个交点，

右侧有4个交点，

此时应满足 ，解得：；

综上可知，的取值范围是．

故选：A

【点睛】

本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想以及分类与整合的思想，属于中档题.

二、多选题

9．（2019·全国课时练习）设a，b，c都是正数，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.

【详解】

由于，，都是正数，故可设，

，，，则，，.

，，即，去分母整理得，.

故选AD.

【点睛】

本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.

10．（2020·江苏扬州·高三开学考试）己知函数，下面说法正确的有（    ）

A．的图像关于原点对称

B．的图像关于y轴对称

C．的值域为

D．，且，

【答案】AC

【分析】

依次判断每个选项：判断奇偶性得出A正确，B错误；利用换元法求的值域，可得出C正确；判断函数单调递增可得出D正确，进而可得出答案.

【详解】

对于选项A，，定义域为，则，

则是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；

对于选项B，计算，，

故的图象不关于y轴对称，故B错误；

对于选项C，，令，，

易知，故的值域为，故C正确；

对于选项D，，令，，

函数在上单调递增，且在上单调递增，

根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，

故，且，不成立，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用，属于中档题.

11．（2020·福建福州·期末）下列选项中说法正确的是（    ）

A．函数的单调减区间为

B．幂函数过点，则

C．函数的定义域为，则函数的定义域为

D．若函数的值域为，则实数的取值范围是

【答案】BD

【分析】

对于A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断.

【详解】

对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；

对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；

对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；

对于 D选项：因为函数的值域为，

所以当时，，满足其值域为，

当时，需且，解得，

所以实数的取值范围是，故D正确，

故选：BD.

【点睛】

本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题.

12．（2020·湖南期末）已知偶函数对任意都有，当时，，实数是关于的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期是12

B．图象的对称轴方程为，

C．当时，关于的方程在上有唯一解

D．当时，存在，，，，使得的最小值为0

【答案】BCD

【分析】

选项A求出函数的最小正周期为24，判断选项A错误；选项B求出函数图象关于直线对称，判断选项B正确；选项C先结合的单调性和图像判断当时，关于的方程在上只有唯一解，从而判断选项C正确；选择D先判断当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，再判断若4个零点不关于对称时，，从而判断选项D正确.

【详解】

选项A：因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故选项A错误；

选项B：因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故选项B正确；

选项C：当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故选项C正确；

选择D：当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，，故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数的周期性、函数的对称性、函数的零点，是中档题.

三、填空题

13．（2020·浙江课时练习）化简：__________.

【答案】

【分析】

将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果.

【详解】

原式.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题.

14．（2019·湖北黄石·高一期中）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)

【答案】1.56

【解析】

注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.

15．（2018·四川省绵阳江油中学开学考试（理））若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.

【答案】

【分析】

由反函数求出解析式，进而求出其单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性的性质，可求出所求的单调递减区间.

【详解】

解：由题意知，在上单调递增，设，

令，解得或，由二次函数的性质，在单调递减，

在上单调递增.则的单调递减区间是.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了反函数的应用，考查了函数单调性的求解.本题的易错点是忽略了函数的定义域.

16．（2020·四川省成都市新都一中月考（文））已知函数对任意不相等的实数，，都有，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】

首先根据题意得到在上为减函数，从而得到，再解不等式组即可.

【详解】

由题知：对任意不相等的实数，，都有，

所以在上为减函数，

故，解得：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题.

四、解答题

17．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）6；（2）.

【分析】

（1）根据对数运算公式，结合对数式与指数式的恒等式、零次幂的运算性质进行求解即可；

（2）根据指数的同底数幂的乘法和除法的运算法则进行运算即可.

【详解】

（1）

（2）

【点睛】

本题考查了对数的运算公式，考查了指数的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.

18．（2020·河南罗山·月考（理））某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%予以奖励.设销售人员的销售利润为万元，应获奖金为万元.

（1）求关于的函数解析式，并画出相应的大致图象；

（2）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？

【答案】（1），图象答案见解析；（2）50万元

【分析】

（1）根据题意写出函数解析式，画出图象即可；

（2）先通过分析得到，再令，求解即可.

【详解】

解：（1）根据题意，可得函数的解析式为：

，

即，

图象如下所示：

（2）由（1）可知，当时，，

，

，

令，

解得：，

故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.

19．（2020·江苏启东中学开学考试）已知函数，其中是大于的常数．

（1）求函数的定义域；

（2）当时，求函数在上的最小值；

（3）若对任意恒有，试确定实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）．

【分析】

（1）根据分类讨论法，分，，三种情况，解不等式，即可得出结果；

（2）先判断函数单调性，进而可得出函数在给定区间的最值；

（3）由题意，得到在上恒成立，令，，求出其最大值，即可得出结果．

【详解】

（1）由，得.

①当时，恒成立，所以的定义域为；

②当时，不等式可化为，所以且，所以的定义域为；

③当时，由可得：或，解得：或，即函数的定义域为；

综上，当时，的定义域为；

当时，的定义域为；

当时，的定义域为；

（2）设，则，

当，时，显然，

所以在上是增函数；

因此在上是增函数；

∴；

（3）若对任意恒有，

则对任意恒成立．∴在上恒成立．

设，，

则是开口向下，对称轴为的二次函数，

所以在上单调递减，

因此，

即实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查求具体函数的定义域，考查求函数在给定区间的最值，以及由不等式恒成立求参数的问题，涉及分类讨论法解不等式，以及导数的方法判定函数单调性，属于常考题型.

20．（2020·云南昆明·期末）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.年月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，盘里有盘是我们澜沧种的！”

（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；

（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短年，最长不超过年；③投资年数与总回报的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当时， ，以后每增加时，增加；方案二：；方案三：.请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）设顾客一次购买斤土豆，每斤土豆的单价为元，根据题意可得出，化为，利用该函数的单调性可得出结论；

（2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的数据可得出结论.

【详解】

（1）设顾客一次购买斤土豆，每斤土豆的单价为元，

由题意知：，

因为，所以在为单调递减函数.

说明一次购买的斤数越多，单价越低；

（2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案.

由题意可知方案一对应的解析式为：.

列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论：

当投资年数为年时，选择方案一最佳；

当投资年数为年时，选择方案一或方案二最佳；

当投资年数为年或年时，选择方案二最佳；

当投资年数为年时，选择方案二或方案三最佳；

当投资年数为年时，选择方案三最佳.

【点睛】

本题考查函数模型的选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

21．（2020·辽宁辽阳·高三月考）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.已知______，若函数为奇函数，且函数的零点在区间内，求的取值范围.

【答案】条件选择见解析，答案见解析.

【分析】

分别对条件①②③逐个分析，利用函数是奇函数，确定出的值，之后可以判断出函数是上的增函数，从而得到其零点只能是0，从而求得结果.

【详解】

选①∵是奇函数，∴，

得.

∴，易知在上是增函数，

∴有唯一零点0.

∵函数的零点在区间内，∴在上有解，

∴，即；

选②

∵是奇函数，∴，

得.

∴，易知在上是增函数，

∴有唯一零点0.

∵函数的零点在区间内，∴在上有解，

∴，即

选③

当时，，∴，

∵函数是定义在上的奇函数，∴，

∴，得.

∴，易知在上是增函数，

∴有唯一零点0.

∵函数的零点在区间内∴在上有解，

∴，即.

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用奇函数确定参数的值，根据解析式判断函数的单调性，根据函数的零点求参数的取值范围，属于简单题目.

22．（2020·广东福田·红岭中学期末）已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.

（1）求，的值

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）判断函数在上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得；

（2）设，利用分离参数法，题中问题为在上有解，求出的最大值即可得．

（3）把方程化简，并设，方程化为，结合图象，方程有两个实数解，则有，，或，，利用二次方程根的分布知识求得的范围．

【详解】

（1）由题意，又，∴在上单调递增，

∴，解得．

（2）由（1），，

时，，令，则在上有解，

，∵，∴，

，则，∴的最大值为，

∴，即．

∴的取值范围是．

（3）原方程化为，

令，则，有两个实数解，

作出函数的图象，如图

原方程有三个不同的实数解，则，，或，，

记，

则，解得，

或，无解．

综上的取值范围是．

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．