专题16 平面向量及其应用（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

【新教材2019人教必修第二册】

暑假高一能力提升 专题16  平面向量及其应用

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2021·广西百色市·高一期末）设是两个不共线的向量，若则（    ）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

【答案】A

【解析】

因为+==2，故三点共线.

故答案为A.

2．（2020·天津市第八中学高三月考）已知：在△ABC中，，则此三角形为（　　）

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】

利用正弦定理把边换成角得到，进而利用三角函数的差角公式求解即可

【详解】

对于，等式左边的分子分母同时除以，利用正弦定理可得，

，，

得到，A，B，C均在△ABC中，故得到，此三角形为等腰三角形.

答案选C.

【点睛】

本题考查正弦定理和三角函数差角公式的运用，属于简单题.

3．（2021·江苏高一）下列说法正确的是（     ）

A．若，则的长度相等且方向相同或相反

B．若向量，满足，且与同向，则

C．若，则与可能是共线向量

D．若非零向量与共线，则四点共线

【答案】C

【分析】

由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．

【详解】

若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；

若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；

若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；

若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．

4．（2021·江西景德镇市·高二期末（文））已知等边三角形的边长为6，点满足，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据，变形转化得到，再利用数量积运算求解.

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，，

故.

故选：C.

5．（2020·全国高三专题练习（文））是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】

先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案．

【详解】

解：、分别表示向量、方向上的单位向量，

的方向与的角平分线一致，

又，

，

向量的方向与的角平分线一致

点的轨迹一定经过的内心.

故选：B．

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．

6．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先由正弦定理，由题中条件，得到，再由三角形有两个解，得到，从而可求出结果.

【详解】

因为，，

由正弦定理可得，所以，

又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，

解得.

故选：C.

7．（2021·浙江高三学业考试）某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则下列结论不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐

一验证四个选项即可得正确答案.

【详解】

设，

由图知，，解得，所以，

假设，则即，

，，，，

，

对于选项A：，，

所以，故选项A成立；

对于选项B：，

显然最大值为，不成立，故选项B不成立；

对于选项C：，，所以，故选项C成立；

对于选项D：，

所以，

因为，所以，即，所以，

故选项D成立，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出三角函数的表达式，根据点与点时间间隔相差秒，若设，则这是解题的关键点.

8．（2020·全国高三专题练习）定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2) 的模(表示向量、的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，正确的有（    ）

A．与方向相反

B．

C．与正方体表面积的数值相等

D．与正方体体积的数值相等

【答案】C

【分析】

由向量与的外积的定义，根据外积的定义逐项判断即可得到结果.

【详解】

A选项，在正方体中,,

根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，错，

B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，错，

C选项，根据向量外积的第二个性质可知，

则与正方体表面积的数值相等，故C对，

D选项，与的方向相反，则，故D错，

故选：C.

二、多选题

9．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高一期中）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，

，所以D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量.

10．（2021·浙江高一期末）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，在的仿射坐标系中，，则下列结论中，正确的是（    ）．

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】

利用运算可得的仿射坐标，知A正确；

根据，利用平面向量数量积的运算律可求得B正确；

由，知C错误；

利用可求得在上的投影数量，由投影向量定义计算可得D正确.

【详解】

对于A，，，，即，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，

与不垂直，C错误；

对于D，，

在上的投影数量为，

在上的投影向量为，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义运算的问题，解题关键是能够利用表示所求内容，根据平面向量的加减、数乘以及数量积运算等知识来进行求解.

11．（2020·江苏镇江市·高三期中）在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，则

C．若是锐角三角形，

D．若是钝角三角形，则

【答案】BCD

【分析】

利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可

【详解】

对于A，根据正弦定理，由，得出，所以，，因为在中，令，，此时，仍有，所以，不一定是等腰三角形，A错误；

对于B，由已知条件得，，因为，所以，，均为锐角，则有，所以，，B正确；

对于C，若是锐角三角形，则均为锐角，所以，，得和，且，得，同理，可证得，，，所以，成立，C正确；

对于D，若是钝角三角形，不妨设为钝角，则为锐角，

则有，所以，，

又因为，所以，，得到，

又由为钝角，可得，所以，

成立，同理，当为钝角或者为钝角时，该不等式仍然成立，D正确；

故选BCD

【点睛】

关键点睛：解题的关键在于，利用特殊角进行赋值进行判断选项，以及利用三角函数的性质和相关公式，逐个选项进行判断，主要考查学生的运算能力，属于中档题

12．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】

向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项B；利用故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项.

【详解】

因为是的重心，是的外心，是的垂心，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以，

对于选项A：因为是的重心，为的中点，所以，

又因为，所以，即，故选项A正确；

对于选项B：因为是的重心，为的中点，所以，

，因为，所以，

，即，故选项B正确；

对于选项C：，故选项C不正确；

对于选项D：设点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得，利用向量的线性运算结合可得出向量间的关系.

三、填空题

13．（2020·河南高二月考（理））在中，已知，，的面积为，则的值为_______.

【答案】或

【分析】

先根据的面积为求出，可得或，再由数量积公式可得答案.

【详解】

∵，

∴，∴或，

因为，，

所以，

∴或.

故答案为：或

14．（2020·全国高一课时练习）如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成角，在杆上分别套一小环P，Q（小环重力不计），并用轻线相连.现用恒力F沿方向拉小环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为__________.

【答案】.

【分析】

由题，是两个轻环，重力不计，当用恒力沿方向拉环，两环稳定时，环受到两个力而平衡，环受到三个力而平衡，以为研究对象，根据二力平衡条件确定出轻绳的方向，再以为研究对象，求出轻绳的拉力.

【详解】

以小环为研究对象，由于受力平衡，故轻线与杆垂直，

即轻线与杆的夹角为.

设小环受轻线的拉力为，对其受力分析，

可得在水平方向上有，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查的是共点力平衡的条件及其应用，通过力的分析了解向量的实际背景，考查学生对受力的分析能力，是基础题.

15．（2020·辽宁沈阳市·高三期中）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（，，，在同一水平面内），则，间的距离为______.

【答案】

【分析】

连接，在中，利用余弦定理求出的长，用正弦定理求出，进而可得，再在中，利用余弦定理求出即可

【详解】

解：如图，连接，

在中，由余弦定理得，

，

所以，

由正弦定理得，，即，

解得，

因为，

所以，

在中，

，

所以，即，间的距离为，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用几何图形画出辅助线，正确利用正余弦定理求解，考查计算能力，属于中档题

16．（2019·天津实验中学高二期中）在直角梯形中，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是________．

【答案】[-1,1]

【解析】

试题分析：如图以为轴建立直角坐标系，则，，，，，，所以，，，因为在圆弧上，所以，又，所以．

考点：向量的线性运算，不等式的性质．

【名师点睛】平面向量的运算，如果从形的方面难以着手，可考虑从数的方面入手，即建立直角坐标系，用坐标表示向量，把向量的运算转化为坐标运算，实现形与数的转化．

四、解答题

17．（2020·安徽省砀山第二中学高三月考（文））已知向量在向量方向上的投影为，.

（1）求向量与的夹角；

（2）求的值；

（3）若向量，，，求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）设向量与的夹角为，由平面向量数量积的几何意义可计算出的值，再由可求得，结合平面向量数量积的定义可求得的值，进而可求得向量与的夹角；

（2）利用结合平面向量数量积的运算性质可求得结果；

（3）设，可得出关于实数、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】

（1），则，

设向量与的夹角为，则，所以，，

，，可得，，

所以，，，.

因此，向量与的夹角为；

（2）；

（3），设，则，

由于、不共线，则，解得.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的几何意义、利用平面向量数量积处理向量垂直、利用平面向量数量积计算向量的模，同时也考查了利用共线向量求参数，考查计算能力，属于基础题.

18．（2020·河南高二月考（文））在中，角对边分别为，且．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求周长的取值范围．

【答案】

（1）B=     

（2）

【解析】

试题分析：

（1）由题为求角，可利用题中的条件，可运用正弦定理化边为角，再联系余弦定理，可求出角。

（2）由（1）已知角和，借助正弦定理可将表示为角；再利用正弦三角函数的性质，化为已知三角函数的定义域，求函数的值域问题可解。

试题解析：（1）由正弦定理可将变形为，

整理可得，，

，，     

（2）由正弦定理得

所以

，，，

，即，所以周长

考点：（1）正弦定理和余弦定理的综合运用。（2）利用正弦定理进行边角互化及三角函数的性质。

19．（2021·江苏高三一模）在①：②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，___________？

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】

若选①和②：①化简由余弦定理可求得，则②利用和差角公式化简可得，进而由正弦定理可求得b的值；

若选①和③：①化简由余弦定理可求得，③利用三角形内角和及切化弦可化简为，进而求得，在在中，即可求得结果.

若选②和③：②利用和差角公式化简可得或.③利用三角形内角和及切化弦可化简为，进而求得，则为等腰直角三角形，所以.

【详解】

选择条件①和②.

因为，所以，

由余弦定理，得.

因为，所以.

因为，所以，

所以，

所以.

因为，所以.

在中，由正弦定理，得.

所以.

选择条件①和③.

因为，所以.

由余弦定理，得.

因为，所以.

因为，且，

所以.

因为，所以，所以.

因为，所以，所以，可得.

所以在中，.

选择条件②和③.

因为，

所以，

所以.

所以或.

因为，，

所以或.

又因为，且，

所以.

因为，所以，所以.

因为，所以，所以，可得.

在中，，所以，，.

所以为等腰直角三角形，所以.

【点睛】

思路点晴：

（1）先选择哪个条件，

（2）再根据正余弦定理化简求值.

20．（2020·全国高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明：

（1）；

（2）三点共线.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

先证明四边形为正方形，然后建立平面直角坐标系，分别写出各点的坐标，可得到，，即可证明结论.

【详解】

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图.令，

则，.∵，∴四边形为正方形.∴各点坐标分别为，.

（1）∵，，

∴，∴，即.

（2）∵为的中点，∴，∴，.∵，

∴.又∵与有公共点，∴三点共线.

【点睛】

本题考查了平面向量在几何中的应用，属于基础题.

21．（2021·广东东莞市·高二期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

（1）求出山高BE（结果保留整数）；

（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大?

参考数据：，，，.

【答案】（1）152m；（2）m.

【分析】

（1）根据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理直接求出山高BE；

（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最值，可得观测站视角的最大值.

【详解】

解：（1）由题知，

在中，由正弦定理得，即，

所以

在中，，即，

所以，

所以山高m.

（2）由题知，，则

在中，

在中，

由题知，则

当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大.

【点睛】

数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．

22．（2021·河南郑州市·高二期末（理））由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；

（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

【答案】（1）；（2），面积的最小值.

【分析】

（1）连接，，在中，利用余弦定理求出，可求出，可得出的值，在中，利用正弦定理求出的值，进而利用勾股定理可求得；

（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，进而可求得面积的最小值及其对应的的值.

【详解】

解：（1）连接、，

在中，，

由余弦定理可得：，.

在中，由余弦定理可得，.

在中，，

由正弦定理可得：，解得：.

在直角中，，；

（2），

.

.

，当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.