第6章 解三角形专题训练（三）—中线问题-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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解三角形专题训练（三）—中线问题1．如图，在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若边上的中线的长为，且，求的长．解：（1），由正弦定理可得：，可得：，，分，，分，分（2）在中，，，分为的中点，，分在中，，分分2．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，为的中点，的面积为，求的长．解：（1）因为，所以，又，所以，可得：，因为，所以，即，因为，所以．（2）因为，，的面积为，所以，由余弦定理，可得，可得，因为，可得：，解得，可得的长为．3．中，角，，所对的边为，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积，为的中点，求边上中线的最小值．解：，由正弦定理可得：，，可得：，，，，，即．（Ⅱ）的面积，，化为：．为的中点，由中线长定理可得：，由余弦定理可得：，代入上式可得：，解得，当且仅当时，边上中线取得最小值．4．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）设为边的中点，的面积为2，求的最小值．解：（1）因为、、为三角形内角，所以．故角为．（2）由（1）知，的面积为，所以，延长到，使，连接，则，，由余弦定理得，当时，等号成立．于是，当时，等号成立．故的最小值．5．在中，角、、所对的边分别为、、，已知．（1）求的大小；（2）的面积等于，为边的中点，当中线长最短时，求边长．解：（1）由，得，即，从而，而，可得．（2），，，当且仅当，即时，等号成立，此时，故．6．中，角，，的对边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若，且边上的中线长为，求的面积．解：（1）因为，所以，可得，所以，因为，所以，可得，因为，所以．（2）由，可得，①在中，取的中点，连接，因为，，所以在中，，在中，，所以，②把①代入②，化简可得，解得，或（舍去），所以，所以的面积．7．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若面积为，为中点，求线段的长．证明：由正弦定理及得，，所以，因为，由余弦定理得，，整理得，，所以，即为等腰三角形；因为，则，由题意得，，则，，因为为中点，所以，故，解得，．8．在中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长．解：（1）因为，所以由正弦定理可得，可得，因为，可得，即，由，可得．（2）由已知，则是等腰三角形，，设，可得，由已知的面积为，得，，可得，中，由余弦定理，，所以．9．已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，且边上的中线长为，求．解：（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，可得，因为，所以，可得，又因为，可得．（2）由余弦定理可得，①又在中，，设的中点为，在中，，可得，可得，②由①②可得，解得．10．已知函数，（1）求的单调递增区间．（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若（A），，，求的中线的长．解：（1）．由，解得：，．的单调递增区间为，，．（2）（A），．，解得．，．．在中，由正弦定理可得：，解得．．在，由余弦定理可得：，．