第八章立体几何专题训练（七）—探索性问题（1）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

这是一份第八章立体几何专题训练（七）—探索性问题（1）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练，共9页。试卷主要包含了在四棱锥中，，，如图等内容，欢迎下载使用。
第八章   立体几何专题训练（七）—探索性问题（1）1．如图所示的几何体由平面截棱长为2的正方体得到，其中、为原正方体的顶点，、、为原正方体侧棱的中点，正方形为原正方体的底面．（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使三棱锥的体积恰为几何体的体积的？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：几何体由棱长为2的正方体截得，、为原正方体侧棱的中点，，且，四边形为平行四边形，，面，面，平面．（2）解：在棱上存在点，当时，可使三棱锥的体积恰为几何体的体积的，几何体的体积为，由正方体的性质可知点到面的距离等于点到面的距离，设，则，，解得：，即，在棱上存在点，当时，可使三棱锥的体积恰为几何体的体积的．2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．解：（1）证明：底面是菱形，，，分别为，，的中点．，，，平面，平面，平面；（2）直线与平面平行，证明如下：连接，，分别为，，的中点，，平面，平面，平面，平面与底面的交线为，由线面平行的性质得，，，，，且平面，平面，平面．3．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，请求出，若不存在，请说明理由．（1）证明：取的中点为，连接，，由为等边三角形，可得，因为，，所以，，即，所以，又平面，平面，所以平面，又为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）解：过作，交于，再过作，交于，连接，则即为所求．由，可得，，在直角三角形中，，则，所以，由，可得．证明：当时，可得，平面，平面，可得平面，又，平面，平面，可得平面，又，可得平面平面，而平面，所以平面．4．如图，四棱锥，平面平面，四边形为矩形，，，，为上的点，且平面．（1）求证：；（2）设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面，并求的长．解：（1）证明：四边形为矩形，．平面平面，平面．．平面，．又，平面，平面，平面，．（2）取的三等分点（近，即，连接，，，在上取点，使，即，矩形中，，，，，四边形是平行四边形，，平面，在中，，，，，．5．如图（1），在中，，，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到△的位置，使，如图（2）．（1）若是的中点，求与平面所成角的大小；（2）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．解：（1）（如右图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，2，，，，0，，，2，．设平面的法向量为，则，又，，所以，令，则，所以，设与平面所成的角为，因为，所以，所以与平面所成角的大小为．（2）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下：假设这样的点存在，设其坐标为，0，，其中，．设平面的法向量为，则，又，，所以，令，则，所以，平面平面，当且仅当，即．解得，与，矛盾．所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．6．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）证明：因为，且为线段的中点，所以．又，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．又平面平面，平面，，平面平面，所以平面，又因为，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）解：存在，为棱上靠近点的三等分点．因为，为线段的中点，所以，又平面平面，所以平面．如图，以为坐标原点，、、的方向为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，1，，，0，，，0，，所以，，，设，得，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是有；解得或（舍去），所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，故为棱上靠近点的三等分点．