第八章立体几何专题训练（十二）—异面直线所成的角（大题）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

这是一份第八章立体几何专题训练（十二）—异面直线所成的角（大题）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练，共11页。试卷主要包含了已知三棱柱中，平面，，，为中点，在长方体中，，，，为棱的中点等内容，欢迎下载使用。
第八章  立体几何专练（十二）—异面直线所成的角（大题）1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）在菱形中，有，由平面，平面，，又，，平面，平面，平面，解：（Ⅱ）作交于点，连接，，，设，由，为的中点，，且为的中点．又，，则，由（Ⅰ）可知：平面，而平面，直线与平面所成角为又，故直线与平面所成角的正弦值．2．已知三棱柱中，平面，，，为中点．（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，为的中点，，又平面，平面，直线平面．（2）解：由（1）知，，或其补角为直线与所成角，平面，平面，，等边，且为的中点，，又，、平面，平面，，，在中，，由余弦定理知，，故异面直线与所成角的余弦值为．3．如图，在直三棱柱中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，，分别为棱和的中点．（1）试判断直线和的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线和所成角的余弦值．解：（1）连接．在△中，，分别为棱和的中点，所以，且，（2分）又在直三棱柱中，，且，所以，且，所以四边形为梯形，所以直线和为相交直线．（5分）（2）因为，所以（或其补角）为异面直线和所成角．（7分）因为是边长为4的正三角形，则，在△中，，，，则，同理，（10分）在中，，，，解得，所以异面直线和所成角的余弦值为．（12分）4．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求直线与所成角的余弦值．解：（1）证明：连结与相交于点，连结，由矩形可得点是的中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，或其补角为异面直线和所成的角，设，则，，，在△中，由余弦定理可得，，所以直线与所成角的余弦值为．5．在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小的余弦值．解：（1）证明：由题意知，，是圆柱的一条母线，垂直于圆柱的底面，则，即，又，且，平面，平面，平面，；（2）连结，如图示：由题意知，，异面直线与所成的角等于直线与直线所成的角，在中，，，，由余弦定理，得，故异面直线与所成的角的余弦值为．6．在三棱锥中，是底面的重心，是线段上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是以为斜边的等腰直角三角形，求异面直线与所成角的余弦值．（Ⅰ）证明：连接并延长交于点，连接，是的重心，，，，平面，平面．平面．（Ⅱ）解：由可知，，所以与所成的角即为．在直角中，令，则，，，在中，由余弦定理．所以异面直线与所成角的余弦值为．10．在长方体中，，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线和所成的角的余弦值．【解答】（1）证明：由题意可知，，，，为棱的中点，所以，，，则，所以，又长方体中中，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）解：取的中点，连结，，，则，且，所以四边形是平行四边形，故，所以即为异面直线和所成的角，连结，则，，，在△中，由余弦定理可得，，，故异面直线和所成的角的余弦值为．7．在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点，，，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以，又是的中点，所以且，连接，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：因为，所以或其补角为异面直线与所成的角，在中，，因为，，所以，由余弦定理得，，因为异面直线夹角的取值范围为，，故异面直线和所成角的余弦值为．8．已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，．（1）求证：平面平面；（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值．证明：（1）连接，过作于，过作于．在等腰梯形中，，．，则，，即，平面，平面，，平面，又平面，平面平面．（2）由（1）知，，为直角三角形，为中点，设到平面距离为，，，，即，．与平面所成角的正弦值等于．