第9讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第9讲 二次函数与一元二次方程、不等式
- 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式.
其一般形式为或，其中均为常数，且.
- 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的的零点.
例如：二次函数的两个零点是.
- 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 | |||
的根 | 有两个不相等的实数根 | 有两个相等的实数根 | 没有实数根 |
的解 | 或 | 所有实数 | |
的解 | 无解 | 无解 |
- 解一元二次不等式的步骤：
①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.
示意图如下：
- 分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！
例1.解下列二次不等式
（1）； （2） ； （3）
例2.应满足什么条件才能使有意义？
例3.若，解关于的不等式.
例4.解下列分式不等式
（1）； （2）； （3）
例5.已知二次函数，令，解得.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
例6.
(1) 方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围；
(2) 方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围；
(3) 取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？
(4) 若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围.
例7.
(1) 若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围；
(2) 若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(3) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(4) 已知函数，当时恒有，求实数的取值范围；
(5) 已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．
跟踪训练
- 解下列不等式：
（1）； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
- 二次方程的两根为，若，则不等式的解为 .
- 已知，则关于的不等式的解是( )
A.或 B.或 C. D.
- 若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足( )
A. B.或
C. D.或
- 在上定义运算：，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
- 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
- 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
- 若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是 .
- 当时，方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
