第12讲 函数的奇偶性-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
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- 奇函数、偶函数的定义
奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.
偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.
- 奇函数、偶函数的性质
奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；
④.
偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.
- 用定义证明函数奇偶性的步骤：
①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;
②化简的解析式.
③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.
- 判断函数奇偶的方法
（1）定义法；
（2）图像法；
（3）性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.
（性质法里面需要注意定义域）
例1.函数的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
例2.下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数的定义域为，且，则是奇函数
例3.设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．
例4.判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2）；
（3） ； （4）
例5.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
例6.已知函数是奇函数，则________．
例7.函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．
例8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．
例9.已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
例10. 若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．
例11. 已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．
例12. 定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．
例13. 设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．
例14. 函数是定义在区间上的奇函数，且．
(1) 确定函数的解析式；
(2) 用定义证明：在区间上是增函数；
(3) 解不等式：．
跟踪训练
- 已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于( )
A．3 B．2 C． D．
- 下面五个命题中，正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.
A.2 B.3 C.4 D.5
- 对于定义在上的任意奇函数，都有（ ）
A. B. C. D.
- 若函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
- 函数的图像关于（ ）
A.轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
- 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A. B. C. D.
- 已知函数，则下列结论正确的是( )
A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是
C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是
- 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）
A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是
- 若函数是偶函数，则的递减区间是 .
- 若函数在上是奇函数,则的解析式为________.
- 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．
- 若函数是奇函数，则实数的值为______．
- 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是 ．
- 已知，则 ．
- 已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.
(1) 求；
(2) 解不等式.
- 判断下列函数的奇偶性．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
- 已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解集.
- 已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．
- 若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．
